da goblyn » 06/05/2003, 12:46
Ciao!
Primitive in forma esplicita di quella funzione non ne ho trovate.
Mi sono chiesto quanto valesse l'integrale definito tra 2 estremi (0 e ts, dove ts è il massimo t che ho potuto utilizzare sviluppando in serie la funzione integranda). Scrivo qui il risultato che ho ottenuto... magari a qkuno interessa...! <img src=icon_smile_wink.gif border=0 align=middle>
ABS(x) è il modulo di x
S[k=a,b](ak) denota la somma su k che va da a a b di ak.
INT(f(x)) denota l’integrale indefinito di f(x) in dx.
INT[a,b](f(x)) denota l’integrale definito da a a b di f(x) in dx.
BIN(a,b) denota il coefficiente binomiale a su b.
GAMMA(a) denota la funzione gamma nel punto a, ovvero:
GAMMA(a)=INT[0,+inf](x^(a-1)*exp(-x)) (1)
Sia
f(t) = 2/sqrt(1+3*t^4) (2)
Il nostro compito era quello di calcolare:
INT(f(t))
Sviluppiamo in serie f(t):
f(t) = S[n=0,+inf] ( BIN(-1/2,n) * (3t^4)^n ) (3)
che converge se ABS(t)<= ts, dove
ts = 3^(-1/4)
D’ora in poi riterremo valida quest’ipotesi.
Calcoliamo allora l’integrale definito seguente:
I = INT[0,ts](f(t)) (4)
Integriamo termine a termine e otteniamo:
I = 2 * 3^(-1/4) * S[n=0,+inf] ( BIN(-1/2,n) / (4n+1) ) (5)
Ma quanto vale BIN(-1/2,n) ?
Per definizione
BIN(-1/2,n) = (-1/2)*(-1/2-1)*…*(-1/2-n+1)/n!
Ovvero
BIN(-1/2,n) = (-1)^n * 2^(-2n) * (2n)!/(n!)^2 (6)
Quindi la (5) si riscrive così:
I = 2 * 3^(-1/4) * S[n=0,+inf] ( ((-1)^n * 2^(-2n) * (2n)!) / ((n!)^2* (4n+1)) )
Che fornisce I = 1.3161 circa.