Che cos'è l'integrale di Lebesgue?

[dissonance]

Tempi fa mi sono imbattuto per caso in un lavoro apparso sugli Annali di Fourier. Mi ricordo che mi sono incavolato a vedere come le discussioni sul teorema di convergenza monotona e dominata (integrazione di Lebesgue) fossero vive, rispetto alla analisi evirata che mi era stata insegnata.

Stavo riflettendo su questo punto. Per come questi argomenti sono stati insegnati a me, mi accorgo che è proprio il teorema della convergenza monotona (quello della convergenza dominata, gira e volta, discende da questo) il vero pezzo da novanta dell'integrale di Lebesgue, e (imho) la ragione fondamentale per cui lo usiamo correntemente invece di quello di Riemann.

Ma perché l'integrale di Lebesgue ha questo teorema e quello di Riemann no? Ci ho pensato un po', mi sono dato delle risposte, ma non credo di aver trovato nulla di sufficientemente profondo - purtroppo l'analisi che ho studiato è, come dice Fioravante, evirata e soprattutto è pappa pronta. L'integrale di Lebesgue è per me dieci pagine di manuale.

Perciò mi piacerebbe discutere di questo argomento qui sul forum. Come rispondere alla domanda in sottolineato?

[ayeyye]

interessante, secondo me, tutto nasce secondo me per la soluzione delle equazioni differenziali alle derivate parziali. i vecchi matematici si dedicavano alla risoluzione di veri problemi che spesso riguardavano equazioni alle derivate, si voleva estendere il concetto di soluzione a funzioni un pò meno regolari che non rispettavano rigorosamente l'equazione secondo la vecchia matematica, ma che avevano senso fisico e la rispettavano in senso "debole". allora hanno dovuto generalizzare il concetto di integrale come l'aveva dato newton e leibnitz, e hanno scoperto che funzionava, infatti così a differenza dell'integrale di riemann si riescono a trovare condizioni necessarie e sufficienti affinchè si possa portare il limite di una successione di integrali dentro l'integrale.

[pat87]

Secondo me invece questa teoria è nata principalmente dal fatto che l'integrazione secondo Riemann era carente rispetto a determinate funzioni non continue ma di importanza rilevante, come per esempio la funzione indicatrice dei numeri razionali. Inoltre l'integrale di Riemann da molti problemi quando scambi l'operatore di integrale con un altro (per esempio derivata o somma). Infatti non si può applicare Riemann per funzioni che non sono "belle" abbastanza. Fu anche per questo (e sicuramente anche per altri motivi) che Lebesgue introdusse il suo concetto di misura, e quindi la sua famosa teoria.

Per quel che riguarda la domanda, provo a cercarti un esempio. Wikipedia aiuta sempre

Sia $QQ = \{a_j\}_{j \in NN_0}$ un enumerazione dei razionali in $[0,1]$.
Allora consideriamo la funzione
$g_k(x) = 1$ se $x = a_j, j \le k$
$g_k(x) = 0$ altrimenti
La funzione $g_k$ è uguale a 0 ad eccezione di finiti punti, quindi l'integrale di Riemann è 0, per ogni $k$, ma
$g_k$ è una funzione monotona che tende a $I_{QQ \cap [0,1]}$ che non è integrabile secondo Riemann.
La convergenza monotona dunque fallisce.

[Sidereus]

Il mio punto di vista è quello di un cultore, non di un professionista della matematica, per cui prendetelo per quello che vale.
L'integrale di Lebesgue è costruito in modo tale da possedere tutte le proprietà desiderabili di un vero "integrale", cioè del concetto intuitivo di misura che tutti possediamo. In modo particolare, l'estrema flessibilità nell'operare su successioni e serie di funzioni lo rende indispensabile per costruire l'analisi funzionale. Quest'ultima risulterebbe estremamente farraginosa e piena di inutili restrizioni senza l'integrale di Lebesgue.
Venendo alla domanda di dissonance, direi che l'integrale di Lebesgue e il teorema della convergenza monotona sono quasi la stessa cosa. La definizione di integrale di Riemann è costruita sull'idea di area sottesa dal grafico di $f(x)$; il centro della definizione resta però la funzione $f(x)$. Invece l'integrale di Lebesgue nasce direttamente dall'idea di convergenza quasi ovunque; si capisce bene se si pensa all'approccio alla Riesz-Nagy per la costruzione dello spazio $L^1$. Prima si definisce un integrale per le successioni di funzioni a gradino, poi si estende questa definizione ai limiti di queste successioni. Il centro del discorso qui non è più la funzione $f(x)$ che si vuole integrare, ma le successioni di funzioni semplici (a gradino) che la approssimano.
E' chiaro che se si parte direttamente con una teoria astratta dell'integrazione (come fa Rudin nel suo celebre trattato), è difficile rendersi conto di primo acchito del perché si ricorre a una impostazione così diversa rispetto all'integrale di Riemann.

[ViciousGoblin]

Rispondo senza riflettere molto.

A me pare che l'integrale di Lebesgue sia un "completamento" dell'integrale di Riemann il quale ha il difetto e' di avere " troppo poche funzioni integrabili"
Il teorema della convergenza monotona puo' fallire per l'integrale di Riemann se il limite non e' Riemann-integrabile.

Per fare un parallelo anche il teorema "ogni successione monotona ha limite" e' vero in $RR$, ma non in $QQ$.

[Sidereus]

Il teorema della convergenza monotona puo' fallire per l'integrale di Riemann se il limite non e' Riemann-integrabile.

Infatti, il punto è proprio questo. Con l'integrale di Lebesgue possiamo praticamente "fregarcene" di $f(x)$: è sufficiente fare ipotesi solo sulla successione $f_n(x)$, e questo è un bel vantaggio per la costruzione di spazi di funzioni (metrici o topologici che siano).
Salute

[pic]

Inoltre, il passaggio da integrale di Riemann a quello di Lebesgue è un ottimo esempio di double counting.

[gugo82]

Inoltre, il passaggio da integrale di Riemann a quello di Lebesgue è un ottimo esempio di double counting.

Credo ti riferisca al giochino "divido il dominio"/"divido l'immagine" (che costituisce la vera differenza tra i due tipi d'integrale), o sbaglio?

[Camillo]

Al riguardo di "divido il dominio/divido l'immagine " trovo interessante il testo che segue (del prof. L.Pandolfi).

Sia l'integrale di Riemann che di Lebesgue si ottengono "approssimando" la funzione da integrare $f $ con " funzioni semplici " ; ma, nel caso dell'integrale di Riemann, le "funzioni semplici" si ottengono "affettando" il dominio e quindi sono funzioni costanti a tratti.
Nel caso dell'integrale di Lebesgue le funzioni semplici si ottengono "affettando" il codominio: sono ancora funzioni che prendono un numero finito di valori ma gli insiemi su cui esse sono costanti sono generici insiemi misurabili secondo Lebesgue.
Esistono però relazioni tra i due integrali. Infatti, il teorema di Riemann-Lebesgue (*) mostra che una funzione integrabile di Riemann è continua q.o., e quindi misurabile.
Essendo anche limitata e definita su un insieme limitato, essa è anche integrabile secondo Lebesgue, e non è difficile vedere che i due integrali hanno lo stesso valore.
La definizione di integrale improprio è invece sostanzialmente diversa dalla costruzione di Lebesgue, ed esistono funzioni che ammettono integrale improprio senza avere integrale di Lebesgue. Tra queste anche funzioni importanti per le applicazioni, come per esempio le funzioni

$f(x) =sin x/x ; f(x)=sinx^2 $

Si sa che queste funzioni ammettono integrale improprio, senza essere assolutamente integrabili; e quindi non possono avere integrale di Lebesgue.

(*)Teorema di Riemann-Lebesgue
Una funzione limitata f(x) definita su un intervallo limitato (a; b) di $RR$ è integrabile secondo Riemann se e solo
se l'insieme dei suoi punti di discontinuità è un insieme nullo.
Osservazione - Si noti che questo teorema implica che la funzione di Dirichlet non è integrabile secondo Riemann. Infatti essa è discontinua in ciascun punto di [0; 1] e [0; 1] non è un insieme nullo.

[dissonance]

Ricapitolo un po' ciò che è stato detto finora:
con i primi interventi abbiamo visto che il teorema della convergenza monotona sta ad una teoria dell'integrazione come il teorema di regolarità delle successioni monotone sta alla struttura dei numeri reali (riassumendo all'osso gli interventi di pat, V.G. e Sidereus). Parallelo molto interessante, visto che senza quest'ultimo teorema non riesco a immaginarmi neanche una frazione dei risultati di analisi che ho incontrato finora. Ma questo è un aspetto che vorrei approfondire in un secondo momento.

Prima mi piacerebbe capire un po' meglio questa storia di "divido il dominio/divido l'immagine" che trovo anche su Wikipedia:

Come funziona? Per me l'integrale di Lebesgue di una funzione positiva e misurabile è il sup degli integrali delle funzioni semplici approssimanti per difetto. Che c'entra quella figura con i rettangoli rossi a cui fa riferimento anche Camillo?