serie di taylor....è corretta?

[bius88]

Ciao a tutti....sto cominciando a studiare le serie di taylor e ho iniziato un esercizio:

scrivere la serie di taylor centrata in $x_0=0$ della $f(x)= log(2+4x)$

ho trovato la $f(x_0)=log2$ e le derivate fino alla quarta: $f^I(x)=2$, $f^(II)(x)=-4$, $f^(III)(x)=16$, $f^(IV)(x)=-96$

ora il polinomio di Taylor è: $f(x_0)+f^I(x_0) (x-x_0)/(1!) + f^(II)(x_0) (x-x_0)^2/(2!)+f^(III)(x_0) (x-x_0)^3/(3!) +f^(IV)(x_0) (x-x_0)^4/(4!)+...$

dunque nel mio caso ho: $log2+2 (x)/(1!) -4 (x)^2/(2!)+16 (x)^3/(3!) -96 (x)^4/(4!)+...$ da cui la serie: $\sum_{k=log2}^oo (-1)^(n-1) * x^n/n$.

E' corretta? si procede in questo modo?
Grazie 1000!!!

[gugo82]

Innanzitutto dovresti imparare a calcolare bene le derivate...
Non mi pare che quelle riportate siano esatte.

Ad ogni modo, se fai un po' d'attenzione puoi ricondurti ad una serie nota e non fare troppi conti (col rischio di sbagliarli).

Ad esempio se metti $4$ in evidenza nell'argomento del logaritmo trovi $f(x)=ln[4*(1+x/2)]=ln4 +ln(1+x/2)$; visto che sai (o almeno dovresti trovarlo scritto sul libro) che:

$ln(1+y)=\sum_(n=1)^(+oo) (-1)^(n-1)/n y^n$

puoi sostituire $y=x/2$ nello sviluppo precedente ed ottenere lo sviluppo dell'addendo $ln(1+x/2)$; fatto ciò, metti tutte le informazioni insieme ed hai risolto con stile l'esercizio.

[bius88]

ma è giusta come l'ho fatta io? le derivate sono giuste.....ho sostituito alla x $0$ poiché è centrata in$0$...

[gugo82]

Ma se $f(x):=ln(2x+4)$, come fai a dire che $f(0)=ln2$ o $f'(0)=2$... Dai non scherzare.
Rifai bene i conti.

E poi, scusa, che significa $\sum_(k=ln 2)^(+oo) \ldots$?
Da quanto ricordo, $ln2 \notin NN$... Però è passato tanto tempo da quando ho dato Analisi I: può darsi che nel frattempo sia cambiata la definizione di logaritmo.

[bius88]

scusa ho sbagliato la traccia....adesso è corretta....
ma dopo le derivate (che sono giuste spero!) cosa devo fare?

[gugo82]

Siamo sempre lì: perchè mettersi a calcolare le derivate quando si può fare in modo molto più semplice?

Abbiamo $f(x):=ln2+ln(1+2x)$ (con lo stesso trucco di prima); sfruttando lo sviluppo noto del logaritmo troviamo:

$f(x)=ln2+\sum_(n=1)^(+oo)(-1)^(n+1)/n(2x)^n=ln2+\sum_(n=1)^(+oo) ((-1)^(n+1)2^n)/n x^n\quad$.

Se proprio vuoi arrestarti al quarto ordine trovi:

$f(x)=ln2+2x-2x^2+8/3x^3-4x^4+"o"(x^5) \quad$.

[bius88]

scusa non ho capito perchè la serie va a $1$ ad $oo$...come faccio a capire da dove parte la serie?

[gugo82]

Quella serie veniva fuori dallo sviluppo notevole del logaritmo, quindi l'indice iniziale viene da lì.

Ad ogni modo, tu puoi far partire una serie da dove ti pare semplicemente "shiftando" tutti gli indici: ad esempio:

$\sum_(n=0)^(+oo) x^n =\sum_(n=10^10)^(+oo) x^(n-10^10)=\sum_(n=-834750)^(+oo) x^(n+834750)=\sum_(n=-oo)^0 x^(-n)=\ldots$