Parametrizzazione e flusso

[jollysa87]

Ciao a tutti,

Mi potreste dare una mano con un ex?

Devo calcolare il flusso di $F=<2x+y , y , z^2+x>$ attraverso $S$ dove $S = S_1+S_2$, considerando l'orientamento al di fuori della superficie, con:

$S1 = {(x,y,z) in R^3 : x^2+(y-1)^2 <= 4, z = 0}$

$S2 = {(x,y,z) in R^3 : x^2+(y-1)^2 = 4, 0 <= z <= 2}$


Ho provato a calcolare il flusso attraverso $S_1$ e mi viene $0$... Allora ho usato Java View per vedere il campo $F$ rispetto all'area circolare $S_1$ e non risultano per niente perpendicolari... Com'è possibile? La $S_1$ l'ho parametrizzata utilizzando le coordinate polari:

${(x = R*cos(Φ)),(y = R*sin(Φ)),(z = 0):}$

Osservando che: $0 <= R <= sqrt(3)\qquad0 <= Φ <= 2π$

La normale mi viene uguale a questo vettore, che ha senso: $<0,0,R>$ e lo capovolgo per averlo nell'orientazione richiesta quindi $<0,0,-R>$

L'unica cosa che mi viene da pensare è che il cerchio non sia parametrizzato bene... Forse perchè non è centrato in $(0,0)$ ma in $(0,1)$?

Se è così come si parametrizza $S_1$ ???


Grazie in anticipo!

Alex

[dissonance]

[mod="dissonance"]Ho modificato il messaggio per far comparire le formule in modo corretto. E' molto facile, basta leggere qui: https://www.matematicamente.it/forum/com ... 26179.html [/mod]

[jollysa87]

grazie, la prox volta uso quel tipo di scrittura... per quanto riguarda l'ex niente?

[dissonance]

L'unica cosa che mi viene da pensare è che il cerchio non sia parametrizzato bene... Forse perchè non è centrato in $(0,0)$ ma in $(0,1)$?

Se è così come si parametrizza $S_1$ ???

Eh, mi sa di sì. Quello che hai scritto tu è il cerchio con centro $(x,y,z)=(0,0,0)$. Potresti provare a cambiare coordinate: poni ${(x=X), (y=Y+1), (z=Z):}$ e risolvi il problema in $(X, Y, Z)$.

[jollysa87]

ho provato ma viene sempre 0 perchè quando calcolo le due tangenti e poi il vettore normale, questo viene esattamente uguale (calcolo delle derivate annulla quel +1 su y) cioè (0,0,-R) e facendo il prodotto scalare con F mi rimane solo la sua terza componente per la per la terza componente della normale che è -R.

Siccome la terza componente di F non contiene y, pur aggiungendogli quel +1, le cose rimangono tali e quali

[dissonance]

Ma tu sei convinto che 0 sia un risultato errato? Io no.

Come giustamente notavi tu, quello che influsice sul flusso attraverso $S_1$ è la componente $z$ di $F$. Questa, lungo $S_1$, è uguale a $x$ (la $z$ si annulla). Ora affetta il cerchio in due parti, diciamo $S_1^+, S_1^{-}$, dove $S_1^(+)$ contiene solo i punti di ascissa positiva e $S_1^{-}$ solo quelli di ascissa negativa. Allora $int_{S_1}F=int_{S_1^{-}}F+int_{S_1^(+)}F$ e mi pare plausibile che il risultato sia $0$ perché $F$ lungo $S_1^(+)$ è esattamente l'inverso di $F$ lungo $S_1^(-)$; ($(0,0,x)$ e $(0, 0, -x)$ rispettivamente).
[edit] La frase scritta in rosso è sbagliata. $F$ è uguale a $(0,0,x)$ tanto lungo $S_1^{+}$ quanto lungo $S_1^{-}$. Comunque la sostanza è quella: il flusso uscente da un semicerchio è uguale a quello entrante dall'altro. In totale il flusso è nullo.

[jollysa87]

grazie mille, non pensavo che fosse sbagliato il risultato, ma non sapevo darmi una spiegazione! thx!

[dissonance]

Prego, figurati. Occhio che c'era un errore nel mio ultimo post, ho corretto.