Triangoli mistilinei

[luisa]

1) Di una funzione f(x) si sa che la derivata prima vale 1/sin(x) - [x*cos(x)/sin^2(x)]. Trovare la funzione e tracciarne il grafico.
2) La funzione richiesta risulta tangente alla funzione |x|. Verificarlo analiticamente.
3) Trovare l'area del triangolo mistilineo individuato dai punti di contatto simmetrici e dall'origine.

Grazie
luisa

[goblyn]

Integriamo la derivata prima. Cominciamo con 1/sin(x). Operiamo la sostituzione:

t=tg(x/2)

x=2*arctg(t)

dx=2/(1+t^2) dt

il sin(x) diventa: sin(x)=2t/(1+t^2) e l'integrale:

INT dt/t = log(|t|) + C = log(|tg(x/2)|) + C

Per quanto riguarda il secondo addendo:

Integrando per parti (deriviamo x e integriamo cos(x)/(sin(x)^2) ):

INT [x*cos(x)/sin^2(x)] =

= -x/sin(x) + INT dx/sin(x) = -x/sin(x) + log(|tg(x/2)|) + C

La funzione richiesta vale:

f(x) = -x/sin(x) + 2*log(|tg(x/2)|) + C

con C costante arbitraria.

Per ora mi fermo qui che ho da fare! se qkuno vuole aiutare luisa...!

[goblyn]

ok vado avanti...

f(x) = -x/sin(x) + 2*log(|tg(x/2)|) + C

dovrebbe essere tangente a |x| da qualche parte... (ricordiamoci che per ora f rappresenta infinite funzioni, per via di C)

La derivata di f è:

f'(x)=1/sin(x) - [x*cos(x)/sin^2(x)]

per essere tangente a |x| f deve avere derivata=1 o -1 da qualche parte, imponiamolo:

f'(x)=1
==> x=pi/2

Quindi per x=pi/2 il |x| e la f(x) hanno la stessa pendenza. Vediamo se hanno anche un punto in comune:

f(pi/2) = -pi/2 + C

basta che C=pi e il punto (pi/2,pi/2) è di tangenza.

Buona notte! Qualcuno finisca il problema!!!