Esame Analisi 1

[dazuco]

Finalmente oggi ho fatto questo sospirato esame e con il
vostro aiuto spero di averlo fatto bene.
Ho dei dubbi sul risultao ottenuto da due esercizi.
Chi può aiutarmi a risolverli per verifica con quello che ho fatto?
Grazie

1)Data la funzione
f(x) = x^2 per x >=1
= X^2a per 0 < x < 1
= x per x <= 0

trovare i valori di a appartenente ai Reali per i quali la f(x)
è continua;
è derivabile.



2) lim (x,y)->(0,0) (x^5 + y^5)/((x^4 + (x^2)(y^2))

[goblyn]

PRIMO ESERCIZIO

f(0)=0

affinché il lim per x-->0+ sia 0 occorre che a>0

f(1)=1

affinché il lim per x-->1- sia 1 non occorre specificare nulla. Va bene ogni a reale.

<b>f(x) è quindi continua se a>0</b>

Occupiamoci della derivabilità in x=0.

[f(0+h)-f(0)]/h=[f(h)]/h

se h-->0- il limite è 1
se h-->0+ il limite è:

lim (h^(2a-1))

bisogna che 2a-1=0. Quindi

<b>a=1/2</b>

Ci si può accontentare dell'esistenza di una derivata destra e di una sx richiedendo solo che:

2a-1>=0

<b>a>=1/2</b>

Consideriamo ora x=1. Il rapporto incrementale vale:

[f(1+h)-1]/h

se h-->1+ il limite vale 2
se h-->1- il limite diventa:

[(1+h)^(2a)-1]/h --> 2a

Affinché sia derivabile in x=1 occorre quindi che sia <b>a=1</b>.

Per ogni altro valore di a esistono le derivate dx e sx ma sono diverse.

Concludiamo che la funzione è continua per a>0.
Non è derivabile per alcun valore di a (nell'intero dominio).

Per 0<=a<1/2 f non ammette derivata dx (ma sx sì e vale 1) in x=0 e ammette derivate dx e sx (diverse) in x=1.

Per a=1/2 f è derivabile in x=0 e ammette derivate sx e dx diverse in x=1.

Per -1/2<a<1 f ammette derivate dx e sx diverse sia in x=0 che in x=1.

Per a=1 f ammette derivate sx e dx diverse in x=0 ed è derivabile in x=1.

Per a>1 f ammette derivate dx e sx diverse sia in x=0 che in x=1.

SECONDO ESERCIZIO

il limite non esiste. Ad esempio calcolandolo lungo la curva x=y^2 il limite è infinito. Lungo l'asse delle x il limite vale 0.

Ciao!

[dazuco]

TI RINGRAZIO ANCORA NA VOLTA
Le tue spiegazioni sono sempre chiare.

[dazuco]

TI RINGRAZIO ANCORA UNA VOLTA
Le tue spiegazioni sono sempre chiare.

[Anto]

Scusa goblyn,
in relazione al primo quesito di dazuco qui sopra, potresti spiegarmi con qualche passaggio in piu' perchè:

" Consideriamo ora x=1. Il rapporto incrementale vale:

[f(1+h)-1]/h

se h-->1+ il limite vale 2 && ---------> ok
se h-->1- il limite diventa:

[(1+h)^(2a)-1]/h --> 2a && ----------> ??

non mi è molto chiaro questo secondo limite...
Grazie!

E grazie per il resto!

[goblyn]

Sia g(x)=(1+x)^r

Espandiamo in serie di McLaurin g(x), basta al prim'ordine.

g'(x)= r * (1+x)^(r-1)

g(0)=1
g'(0)=r

g(x)= 1 + rx + ...

nel nostro caso r=2a, quindi:

g(x) = 1 + 2a*x + ...

da cui:

g(x)-1 = 2a*x + ...

I termini nascosti nei puntini vanno a 0 più rapidamente di x per x-->0.

Quindi:

[f(1+h)-1]/h = [(1+h)^2a - 1]/h = [2ah + ...]/h --> 2a

ok? ciao!