[Tutorial] I simboli di Landau

Messaggioda gugo82 » 10/12/2010, 02:57

In seguito alle richieste di qualche utente e di qualche moderatore, riporto le definizioni e le proprietà fondamentali dei famosi (e famigerati) simboli di Landau, i.e. quello denotati dalle quattro letterine \( \displaystyle \text{O} \) , \( \displaystyle \text{o} \) , \( \displaystyle \Omega \) e \( \displaystyle \Theta \) .

*** Disclaimer ***

Quanto scritto di seguito non ha nessuna pretesa di completezza.
Chi fosse interessato ad approfondire la questione può consultare un qualsiasi vecchio testo (leggi: libro per i vecchi ordinamenti) di Analisi I.

Parimenti quanto scritto non sarà scevro da errori.
Chiunque volesse segnalarli può mandarmi un PM.

*** Notazioni, terminologia ed indicazioni generali ***

In quanto segue si suppone, a meno che non venga esplicitamente scritto il contrario, che:

- \( \displaystyle X,Y,Z,T \) siano sottoinsiemi non vuoti di uno spazio topologico \( \displaystyle S \) (in particolare di \( \displaystyle \mathbb{R} \) o \( \displaystyle \mathbb{C} \) );

- \( \displaystyle f:X\to \mathbb{R} \) , \( \displaystyle g:Y\to \mathbb{R} \) , \( \displaystyle h:Z\to \mathbb{R} \) e \( \displaystyle k:T\to \mathbb{R} \) ;

- \( \displaystyle x_0 \) sia un punto di accumulazione per \( \displaystyle X\cap Y\cap Z\cap T \) ; in particolare, se \( \displaystyle X,Y,Z,T\subseteq \mathbb{R} \) , il punto \( \displaystyle x_0 \) potrà essere indifferentemente al finito (i.e. \( \displaystyle x_0\in \mathbb{R} \) ) od all'infinito (i.e. \( \displaystyle x_0=\pm \infty \) ).


Sia \( \displaystyle \mathcal{P} \) una proprietà che coinvolge la funzione \( \displaystyle f \) ; con la locuzione:

"la proprietà \( \displaystyle \mathcal{P} \) è verificata definitivamente intorno ad \( \displaystyle x_0 \) "

si intende che esiste un intorno \( \displaystyle I(x_0) \) di \( \displaystyle x_0 \) in \( \displaystyle S \) tale che la proprietà \( \displaystyle \mathcal{P} \) valga per ogni \( \displaystyle x\in I(x_0)\cap X\setminus \{ x_0\} \) .
Evidentemente, se la proprietà \( \displaystyle \mathcal{P} \) coinvolge le funzioni \( \displaystyle f \) e \( \displaystyle g \) , la locuzione di cui sopra significa che esiste un intorno \( \displaystyle I(x_0) \) di \( \displaystyle x_0 \) in \( \displaystyle S \) tale che la proprietà \( \displaystyle \mathcal{P} \) valga per ogni \( \displaystyle x\in I(x_0)\cap X\cap Y\setminus \{ x_0\} \) ... E così via se nella \( \displaystyle \mathcal{P} \) intervengono altre funzioni.
Ad esempio, dire:

"Il prodotto \( \displaystyle f(x)g(x) \) è definitivamente limitato intorno ad \( \displaystyle x_0 \) "

equivale a dire che:

"esiste un intorno \( \displaystyle I(x_0) \) tale che \( \displaystyle f(x)g(x) \) è limitata in \( \displaystyle I(x_0)\cap X\cap Y \) "

od, ancora più esplicitamente:

"esiste un intorno \( \displaystyle I(x_0) \) ed esiste una costante \( \displaystyle M\geq 0 \) tale che, per ogni \( \displaystyle x\in I(x_0)\cap X\cap Y\setminus \{ x_0\} \) , risulta \( \displaystyle |f(x) g(x)|\leq M \) ".


Le dimostrazioni finiscono con il solito \( \displaystyle \square \) .
La fine delle osservazioni è marcata dal simbolo \( \displaystyle \diamondsuit \) .
La fine di un esempio è segnata con \( \displaystyle \spadesuit \) .
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)
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$"O"$

Messaggioda gugo82 » 10/12/2010, 03:52

Cominciamo il nostro excursus dal simbolo \( \displaystyle \text{O} \) , che si legge "o grande".

Diamo la definizione:
Diciamo che \( \displaystyle f(x) \) è un \( \displaystyle \text{O} \) di \( \displaystyle g(x) \) in \( \displaystyle x_0 \) se:

(1) \( \displaystyle \exists M > 0 :\ |f(x)| \leq M \ |g(x)|\ \text{de} \text{finitivamente intorno ad } x_0 \) ,

ossia se:

\( \displaystyle \exists M> 0,\ \exists I(x_0)\ \text{intorno di } x_0:\ \forall x\in I(x_0)\cap X\cap Y\setminus \{ x_0\},\ |f(x)|\leq M\ |g(x)| \) ;

in tal caso scriviamo:

\( \displaystyle f(x)=\text{O}_{x_0} (g(x)) \) oppure \( \displaystyle f(x)=\text{O}(g(x))\ \text{in } x_0 \)

(il punto \( \displaystyle x_0 \) può anche essere omesso se ciò non crea ambiguità).

La (1) vuol dire che, per ogni \( \displaystyle x\in X\cap Y \) sufficientemente vicino ad \( \displaystyle x_0 \) , la grandezza \( \displaystyle |f(x)| \) si può maggiorare con una grandezza direttamente proporzionale a \( \displaystyle |g(x)| \) mediante un'opportuna costante di proporzionalità \( \displaystyle M \) , la quale in generale non può diventare "arbitrariamente piccola" (cfr. con il post sul simbolo \( \displaystyle \text{o} \) ).

Notiamo esplicitamente che non abbiamo posto alcuna restrizione al comportamento di \( \displaystyle f(x) \) e \( \displaystyle g(x) \) intorno ad \( \displaystyle x_0 \) ; in particolare \( \displaystyle f(x) \) e \( \displaystyle g(x) \) possono anche non essere limitate intorno ad \( \displaystyle x_0 \) . Tuttavia, se \( \displaystyle f(x) \) è limitata intorno ad \( \displaystyle x_0 \) e \( \displaystyle g(x) \) non lo è, allora la stima fornita dalla (1) diventa poco significativa.

Osservazione: Dalla definizione appena data si desume immediatamente che il simbolo \( \displaystyle \text{O}_{x_0} (1) \) può essere usato per denotare le funzioni definitivamente limitate intorno ad \( \displaystyle x_0 \) .
Infatti, sostituendo \( \displaystyle g(x)=1 \) in (1), troviamo che \( \displaystyle f(x) \) è limitata in un intorno di \( \displaystyle x_0 \) . \( \displaystyle \diamondsuit \)

Osservazione Importante: Se la funzione \( \displaystyle g(x) \) è definitivamente non nulla intorno ad \( \displaystyle x_0 \) (il che vuol dire che esiste un intorno \( \displaystyle J(x_0) \) tale che \( \displaystyle g(x)\neq 0 \) per \( \displaystyle x\in J(x_0)\cap Y\setminus \{ x_0\} \) ), la (1) equivale a dire che il rapporto \( \displaystyle \tfrac{f(x)}{g(x)} \) si mantiene definitivamente limitato intorno ad \( \displaystyle x_0 \) , ossia che risulta:

\( \displaystyle \limsup_{x\to x_0} \left| \frac{f(x)}{g(x)} \right| <+\infty \) ;

ciò si dimostra, semplicemente, notando che nelle ipotesi poste si può dividere membro a membro per \( \displaystyle |g(x)| \) in (1) ottenendo:

\( \displaystyle \exists M \geq 0 :\ \left| \frac{f(x)}{g(x)}\right| \leq M\ \text{definitivamente intorno ad } x_0 \) . \( \displaystyle \diamondsuit \)

In particolare, dall'Osservazione Importante segue immediatamente il:
Criterio della \( \displaystyle \text{O} \) : Se \( \displaystyle g(x) \) è definitivamente non nulla intorno ad \( \displaystyle x_0 \) e se esiste finito il \( \displaystyle \lim_{x\to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} \) , allora risulta \( \displaystyle f(x)=\text{O}(g(x))\ \text{in } x_0 \) .

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Dim.: Per notissimi risultati, il fatto che \( \displaystyle \lim_{x\to x_0} \tfrac{f(x)}{g(x)} \) esista finito (cioè il fatto che \( \displaystyle \tfrac{f(x)}{g(x)} \) sia convergente in \( \displaystyle x_0 \) ) implica che la funzione \( \displaystyle \tfrac{f(x)}{g(x)} \) è limitata intorno a \( \displaystyle x_0 \) ; detta \( \displaystyle M\geq 0 \) una costante tale che \( \displaystyle \left| \tfrac{f(x)}{g(x)} \right| \leq M \) intorno ad \( \displaystyle x_0 \) , riusciamo a verificare la (1) come volevamo. \( \displaystyle \square \)

Tale criterio è una condizione sufficiente ma tutt'altro che necessaria all'essere \( \displaystyle f(x)=\text{O} (g(x))\ \text{in } x_0 \) : infatti il viceversa non è in generale vero, come mostra il seguente:

Controesempio: Siano:

\( \displaystyle f(x):= \begin{cases} x-1 &\text{, se } x\geq 1 \\ 0 &\text{, altrimenti} \end{cases} \) ,

\( \displaystyle g(x):=\begin{cases} 2(x-1) &\text{, se } x\geq 1 \\ 0 &\text{, altrimenti} \end{cases} \)

definite in \( \displaystyle X=Y=\mathbb{R} \) ed \( \displaystyle x_0=0 \) .
Evidentemente è \( \displaystyle f(x)=\text{O} (g(x))\ \text{in } 0 \) (infatti basta prendere \( \displaystyle M=1 \) per verificare la (1) addirittura ovunque in \( \displaystyle \mathbb{R} \) ).
Tuttavia \( \displaystyle g(x) \) non è definitivamente non nulla intorno a \( \displaystyle 0 \) ed il rapporto \( \displaystyle \tfrac{f(x)}{g(x)} \) non è definito in alcun intorno di \( \displaystyle 0 \) , perciò il limite \( \displaystyle \lim_{x\to 0} \tfrac{f(x)}{g(x)} \) non può nemmeno essere calcolato.


Esempi:

A. Siano \( \displaystyle f(x):=x^{101} \) e \( \displaystyle g(x):=x \) definite in \( \displaystyle X=Y=\mathbb{R} \) ed \( \displaystyle x_0:=0 \) (che è di accumulazione per \( \displaystyle X\cap Y \) ).
Per note proprietà degli esponenziali e del valore assoluto, troviamo che:

\( \displaystyle \forall x\in ]-1,1[,\ |x^{101}|=|x|^{101}\leq |x| \) ,

pertanto la (1) è verificata se prendiamo \( \displaystyle I(0)=]-1,1[ \) ed \( \displaystyle M=1\geq 0 \) ; ne consegue che \( \displaystyle x^{101} =\text{O}(x)\ \text{in } 0 \) . \( \displaystyle \spadesuit \)

B. Siano \( \displaystyle f(x):=x \) e \( \displaystyle g(x):=\sin x \) definite in \( \displaystyle X=Y=\mathbb{R} \) ed \( \displaystyle x_0:=0 \) (che è di accumulazione per \( \displaystyle X\cap Y \) ).
Visto che \( \displaystyle g(x) \) è definitivamente non nulla intorno a \( \displaystyle 0 \) (difatti basta prendere \( \displaystyle J(x_0)=]-\pi ,\pi[ \) ), si può formare il rapporto \( \displaystyle \tfrac{x}{\sin x} \) definito in un opportuno intorno di \( \displaystyle 0 \) privato di \( \displaystyle 0 \) stesso; tale rapporto ha limite finito in \( \displaystyle 0 \) (tale limite essendo \( \displaystyle =1 \) ), e dal Criterio della \( \displaystyle \text{O} \) segue immediatamente che \( \displaystyle x=\text{O}(\sin x)\ \text{in } 0 \) .

D'altra parte, scegliamo \( \displaystyle x_0=+\infty \) (che è d'accumulazione per \( \displaystyle X\cap Y \) ).
Comunque vogliamo scegliere \( \displaystyle M\geq 0 \) grande, esiste sempre un intorno di \( \displaystyle +\infty \) in cui riesce \( \displaystyle |f(x)|=|x|>2M>M\ |\sin x|=M\ |g(x)| \) (basta prendere \( \displaystyle I(+\infty) =]2M,+\infty[ \) ), pertanto in questo caso non ci sarà possibile verificare la (1) per nessun \( \displaystyle M\geq 0 \) ; ne consegue che \( \displaystyle x\neq \text{O}(\sin x)\ \text{in } +\infty \) . \( \displaystyle \spadesuit \)

C. Siano \( \displaystyle f(x):=x^2 \) e \( \displaystyle g(x):=x^2\ln x \) definite rispettivamente in \( \displaystyle X=\mathbb{R} \) ed \( \displaystyle Y=]0,+\infty[ \) e sia \( \displaystyle x_0:=+\infty \) (che è di accumulazione per \( \displaystyle X\cap Y \) ).
Per note proprietà del logaritmo si ha \( \displaystyle \ln x>1 \) per \( \displaystyle x\in ]e,+\infty[ \) , ergo risulta:

\( \displaystyle \forall x\in ]e,+\infty[,\ |x^2|\leq |x^2\ln x| \) ,

perciò la (1) è verificata quando prendiamo \( \displaystyle I(+\infty)=]e,+\infty[ \) ed \( \displaystyle M=1 \) ; ne consegue che \( \displaystyle x^2=\text{O}(x^2\ln x)\ \text{in } +\infty \) .

Analogamente se scegliamo \( \displaystyle x_0=0 \) , la funzione \( \displaystyle g(x) \) è definitivamente non nulla intorno a \( \displaystyle 0 \) e si può formare il rapporto \( \displaystyle \tfrac{f(x)}{g(x)}=\tfrac{1}{\ln x} \) ; tale rapporto ha limite finito in \( \displaystyle 0 \) (tale limite essendo \( \displaystyle =0 \) ), pertanto si ha \( \displaystyle x^2=\text{O}(x^2\ln x)\ \text{in } 0 \) per il Criterio della \( \displaystyle \text{O} \) . \( \displaystyle \spadesuit \)


Il simbolo \( \displaystyle \text{O} \) gode di alcune importanti "proprietà algberiche", che richiamiamo qui sotto:
i) Se \( \displaystyle f(x)=\text{O}_{x_0} (g(x)) \) e \( \displaystyle g(x)=\text{O}_{x_0} (h(x)) \) , allora \( \displaystyle f(x)=\text{O}_{x_0} (h(x)) \) .

ii) Se \( \displaystyle f(x)=\text{O}_{x_0} (h(x)) \) e \( \displaystyle g(x)=\text{O}_{x_0} (h(x)) \) , allora \( \displaystyle f(x)+g(x)=\text{O}_{x_0} (h(x)) \) .

iii) Se \( \displaystyle f(x)=\text{O}_{x_0} (g(x)) \) e \( \displaystyle \alpha \in \mathbb{R} \) , allora \( \displaystyle \alpha f(x)=\text{O}_{x_0} (g(x)) \) .

iv) Se \( \displaystyle f(x)=\text{O}_{x_0} (h(x)) \) e \( \displaystyle g(x)=\text{O}_{x_0} (k(x)) \) allora \( \displaystyle f(x)g(x)=\text{O}_{x_0} (h(x)k(x)) \) ; in particolare \( \displaystyle f^n(x)=\text{O}_{x_0} (h^n(x)) \) per ogni \( \displaystyle n\in \mathbb{N} \) .

v) Se \( \displaystyle f(x)=\text{O}_{x_0} (g(x)) \) ed \( \displaystyle f(x) \) e \( \displaystyle g(x) \) sono definitivamente non nulle intorno ad \( \displaystyle x_0 \) , allora \( \displaystyle \tfrac{1}{g(x)}=\text{O}_{x_0} (\tfrac{1}{f(x)}) \) .

Tali proprietà si dimostrano applicando direttamente la definizione.
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
A titolo d'esempio mostriamo la ii), mentre le altre le lasciamo per esercizio allo studioso lettore del forum.

Dim.: Per ipotesi abbiamo:

\( \displaystyle \exists U(x_0)\ \text{intorno di } x_0,\ \exists P\geq 0:\ \forall x \in U(x_0)\cap X\cap Z\setminus \{ x_0\},\ |f(x)|\leq P\ |h(x)| \)

\( \displaystyle \exists V(x_0)\ \text{intorno di } x_0,\ \exists Q\geq 0:\ \forall x \in V(x_0)\cap Y\cap Z\setminus \{ x_0\},\ |g(x)|\leq Q\ |h(x)| \)

quindi, posto \( \displaystyle I(x_0)=U(x_0)\cap V(x_0) \) (che è un intorno di \( \displaystyle x_0 \) ), sfruttando la disuguaglianza triangolare troviamo:

\( \displaystyle \forall x\in I(x_0)\cap X\cap Y\cap Z\setminus \{ x_0\},\ |f(x)+g(x)|\leq |f(x)|+|g(x)|\leq (P+Q)|h(x)| \) ;

pertanto la (1) è verificata con \( \displaystyle I(x_0)=U(x_0)\cap V(x_0) \) ed \( \displaystyle M=P+Q \) e la ii) segue. \( \displaystyle \square \)



Le proprietà i)-iv) si possono esprimere più sinteticamente come segue:
i') \( \displaystyle \text{O}_{x_0}(\text{O}_{x_0}(h(x))) =\text{O}_{x_0}(h(x)) \) .

ii') \( \displaystyle \text{O}_{x_0}(h(x))+\text{O}_{x_0}(h(x))=\text{O}_{x_0}(h(x)) \) .

iii') \( \displaystyle \alpha\cdot \text{O}_{x_0}(g(x)) =\text{O}_{x_0}(g(x)) \) per \( \displaystyle \alpha \in \mathbb{R} \) .

iv') \( \displaystyle \text{O}_{x_0}(h(x))\cdot \text{O}_{x_0}(k(x)) =\text{O}_{x_0}(h(x)k(x)) \) ed \( \displaystyle \big[ \text{O}_{x_0}(h(x))\big]^n =\text{O}_{x_0}(h^n(x)) \) per \( \displaystyle n\in \mathbb{N} \) .
Ultima modifica di gugo82 il 11/12/2010, 20:33, modificato 1 volta in totale.
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)
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Messaggioda gugo82 » 11/12/2010, 02:43

Seguendo il motto:

Un simbolo di Landau al giorno leva il Matematico di torno,

proseguiamo il nostro percorso; oggi è il turno del simbolo \( \displaystyle \text{o} \) , che si legge "o piccolo".

Diamo la definizione:
Diciamo che \( \displaystyle f(x) \) è un \( \displaystyle \text{o} \) di \( \displaystyle g(x) \) in \( \displaystyle x_0 \) se:

(2) \( \displaystyle \forall \varepsilon >0,\ |f(x)|\leq \varepsilon\ |g(x)|\ \text{definitivamente intorno ad }x_0 \)

ossia se:

\( \displaystyle \forall \varepsilon >0,\ \exists I_\varepsilon (x_0)\ \text{intorno di } x_0:\ \forall x\in I_\varepsilon (x_0)\cap X\cap Y\setminus \{ x_0\} ,\ |f(x)|\leq \varepsilon\ |g(x)| \) ;

in tal caso scriviamo:

\( \displaystyle f(x)=\text{o}_{x_0} (g(x)) \) oppure \( \displaystyle f(x)=\text{o}(g(x))\ \text{in } x_0 \)

(il punto \( \displaystyle x_0 \) può anche essere omesso se ciò non crea ambiguità).

C'è somiglianza, ma anche grande differenza, tra la (2) e la (1) (che definisce il simbolo \( \displaystyle \text{O} \) ).
Infatti anche la (2) vuol dire che, per ogni \( \displaystyle x\in X\cap Y \) sufficientemente vicino ad \( \displaystyle x_0 \) , la grandezza \( \displaystyle |f(x)| \) si può maggiorare con una grandezza direttamente proporzionale a \( \displaystyle |g(x)| \) (somiglianza!); tuttavia in questo caso si richiede che la costante di proporzionalità \( \displaystyle \varepsilon \) possa essere scelta "arbitrariamente piccola" senza intaccare la validità locale della maggiorazione (grandissima differenza!).

Notiamo esplicitamente che anche in questo caso non abbiamo posto alcuna restrizione al comportamento di \( \displaystyle f(x) \) e \( \displaystyle g(x) \) intorno ad \( \displaystyle x_0 \) .

Osservazione: Dalla definizione appena data si desume immediatamente che il simbolo \( \displaystyle \text{o}_{x_0} (1) \) può essere usato per denotare le funzioni infinitesime intorno ad \( \displaystyle x_0 \) .
Infatti, sostituendo \( \displaystyle g(x)=1 \) in (2), troviamo che \( \displaystyle f(x) \) è infinitesima in \( \displaystyle x_0 \) . \( \displaystyle \diamondsuit \)

Osservazione Importante: Se la funzione \( \displaystyle g(x) \) è definitivamente non nulla intorno ad \( \displaystyle x_0 \) (il che vuol dire che esiste un intorno \( \displaystyle J(x_0) \) tale che \( \displaystyle g(x)\neq 0 \) per \( \displaystyle x\in J(x_0)\cap Y\setminus \{ x_0\} \) ), la (2) equivale a dire che il rapporto \( \displaystyle \tfrac{f(x)}{g(x)} \) è infinitesimo in \( \displaystyle x_0 \) , ossia che risulta:

\( \displaystyle \lim_{x\to x_0} \left| \frac{f(x)}{g(x)} \right| =0 \) ;

ciò si dimostra, semplicemente, notando che nelle ipotesi poste si può dividere membro a membro in (2) per \( \displaystyle |g(x)| \) ottenendo:

\( \displaystyle \forall \varepsilon > 0,\ \exists I_\varepsilon (x_0)\ \text{intorno di } x_0:\ \forall x\in I_\varepsilon (x_0)\cap X\cap Y\setminus \{ x_0\},\ \left| \frac{f(x)}{g(x)}\right| \leq \varepsilon \) . \( \displaystyle \diamondsuit \)

In particolare, dall'Osservazione Importante segue immediatamente il:
Criterio della \( \displaystyle \text{o} \) : Se \( \displaystyle g(x) \) è definitivamente non nulla intorno ad \( \displaystyle x_0 \) e \( \displaystyle \lim_{x\to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} =0 \) , allora risulta \( \displaystyle f(x)=\text{o}(g(x))\ \text{in } x_0 \) .

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Dim.: Per ottenere la tesi basta ripercorrere "a passo di gambero" la dimostrazione dell'Osservazione Importante. \( \displaystyle \square \)

In generale, il criterio fornisce una condizione sufficiente affinchè valga \( \displaystyle f(x)=\text{o} (g(x))\ \text{in } x_0 \) ma non necessaria, come mostra il seguente:

Controesempio: Siano:

\( \displaystyle f(x):=\begin{cases} (x-1)^2 &\text{, se } x\geq 1 \\ 0 &\text{, altrimenti} \end{cases} \) ,

\( \displaystyle g(x):= \begin{cases} x-1 &\text{, se } x\geq 1 \\ 0 &\text{, altrimenti} \end{cases} \) ,

definite in \( \displaystyle X=Y=\mathbb{R} \) e sia \( \displaystyle x_0=0 \) .
Evidentemente \( \displaystyle g(x) \) non è definitivamente non nulla intorno a \( \displaystyle 0 \) ed il rapporto \( \displaystyle \tfrac{f(x)}{g(x)} \) non è definito in alcun intorno di \( \displaystyle 0 \) , ergo il \( \displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{f(x)}{g(x)} \) non può essere calcolato.
Tuttavia la (2) è banalmente soddisfatta in ogni intono di \( \displaystyle 0 \) di ampiezza \( \displaystyle <1 \) , quindi \( \displaystyle f(x)=\text{o}(g(x))\ \text{in } 0 \) .



Esempi:

A. Come nel post precedente, siano \( \displaystyle f(x):=x^{101} \) e \( \displaystyle g(x):=x \) definite in \( \displaystyle X=Y=\mathbb{R} \) ed \( \displaystyle x_0=0 \) (che è di accumulazione per \( \displaystyle X\cap Y \) ).
Evidentemente \( \displaystyle g(x) \) è definitivamente non nulla intorno a \( \displaystyle 0 \) , perciò ha senso formare il rapporto \( \displaystyle \tfrac{f(x)}{g(x)} =x^{100} \) ; tale rapporto è infinitesimo per \( \displaystyle x\to 0 \) , per cui dal Criterio della \( \displaystyle \text{o} \) segue che \( \displaystyle x^{101}=\text{o} (x)\ \text{in } 0 \) . \( \displaystyle \spadesuit \)

B. Come nel post precedente, siano \( \displaystyle f(x):=x \) e \( \displaystyle g(x):=\sin x \) definite in \( \displaystyle X=Y=\mathbb{R} \) ed \( \displaystyle x_0:=0 \) (che è di accumulazione per \( \displaystyle X\cap Y \) ).
Visto che \( \displaystyle g(x) \) è definitivamente non nulla intorno a \( \displaystyle 0 \) (difatti basta prendere \( \displaystyle J(x_0)=]-\pi ,\pi[ \) ), si può formare il rapporto \( \displaystyle \tfrac{x}{\sin x} \) definito in un opportuno intorno di \( \displaystyle 0 \) privato di \( \displaystyle 0 \) stesso; tale rapporto ha limite finito e non nullo in \( \displaystyle 0 \) (tale limite è \( \displaystyle =1 \) ) e perciò non possiamo usare il Criterio della \( \displaystyle \text{o} \) . Quanto trovato ci fa pensare che risulta \( \displaystyle x\neq \text{o}(\sin x)\ \text{in } 0 \) ed ora vedremo se ciò è vero.
Per dimostrare che \( \displaystyle x\neq \text{o} (\sin x) \) dobbiamo far vedere che:

(*) \( \displaystyle \exists \bar{\varepsilon} >0:\ \forall I(0)\ \text{intorno di } 0, \exists \bar{x}\in I(0)\setminus \{ 0\}:\ |\bar{x}|>\bar{\varepsilon} |\sin \bar{x}| \)

(notiamo che quella appena scritta è la negazione formale della (2)). Sappiamo che \( \displaystyle \lim_{x\to 0} \tfrac{x}{\sin x} =1 \) e ciò implica che abbiamo anche:

\( \displaystyle \lim_{x\to 0} \left| \frac{x}{\sin x}\right| =1 \) ;

usando la definizione di limite, in corrispondenza del numero positivo \( \displaystyle \tfrac{1}{3} \) troviamo un intorno \( \displaystyle U(0) \) (abbastanza piccolo, in modo che \( \displaystyle \sin x \neq 0 \) per \( \displaystyle x\in U(0) \) ) tale che:

\( \displaystyle \forall x \in U(0)\setminus \{ 0\},\ \left| \frac{|x|}{|\sin x|} -1\right| <\frac{1}{3} \)

ma ciò equivale a dire che:

\( \displaystyle \forall x\in U(0)\setminus \{ 0\},\ \frac{2}{3}\ |\sin x| < |x| <\frac{4}{3}\ |\sin x| \) ;

scelto allora \( \displaystyle \bar{\varepsilon} =\tfrac{2}{3} \) , comunque si fissi l'intorno \( \displaystyle I(0) \) , avremo certamente \( \displaystyle I(0)\cap U(0)\setminus \{ 0\} \neq \varnothing \) perciò, comunque vorremo scegliere \( \displaystyle \bar{x} \in I(0)\cap U(0)\setminus \{ 0\} \) , troveremo:

\( \displaystyle \frac{2}{3}\ |\sin \bar{x}| < |\bar{x}| \) ,

quindi vale la (*) con \( \displaystyle \bar{\varepsilon} =\frac{2}{3} \) . Ne consegue che \( \displaystyle x\neq \text{o} (\sin x) \) , come volevamo. \( \displaystyle \spadesuit \)

C. Siano \( \displaystyle f(x):=\tfrac{1}{x\ln x} \) e \( \displaystyle g(x):=\tfrac{1}{x} \) definite, rispettivamente, in \( \displaystyle X=\mathbb{R}\setminus \{ 0\} \) ed \( \displaystyle Y=]0,+\infty[ \) e sia \( \displaystyle x_0=+\infty \) (che è d'accumulazione per \( \displaystyle X\cap Y \) ).
Dato che \( \displaystyle g(x) \) è definitivamente non nulla intorno a \( \displaystyle +\infty \) e dato che \( \displaystyle \lim_{x\to +\infty} \tfrac{f(x)}{g(x)}=0 \) , il Criterio della \( \displaystyle \text{o} \) si applica al caso in esame. Ne consegue \( \displaystyle \tfrac{1}{x\ln x} =\text{o} (\tfrac{1}{x})\ \text{in } +\infty \) . \( \displaystyle \spadesuit \)


Come il simbolo \( \displaystyle \text{O} \) , anche il simbolo \( \displaystyle \text{o} \) gode di importanti "proprietà algebriche", alcune delle quali sono riassunte nell'elenco che segue:
i) Se risulta:

- \( \displaystyle f(x)=\text{o}_{x_0} (g(x)) \) e \( \displaystyle g(x)=\text{o}_{x_0} (h(x)) \) oppure

- \( \displaystyle f(x)=\text{O}_{x_0} (g(x)) \) e \( \displaystyle g(x)=\text{o}_{x_0} (h(x)) \) oppure

- \( \displaystyle f(x)=\text{o}_{x_0} (g(x)) \) e \( \displaystyle g(x)=\text{O}_{x_0} (h(x)) \) ,

allora \( \displaystyle f(x)=\text{o}_{x_0} (h(x)) \) .

ii-a) Se \( \displaystyle f(x)=\text{o}_{x_0} (h(x)) \) e \( \displaystyle g(x)=\text{o}_{x_0} (h(x)) \) , allora \( \displaystyle f(x)+g(x)=\text{o}_{x_0} (h(x)) \) .

ii-b) Se \( \displaystyle f(x)=\text{o}_{x_0} (h(x)) \) e \( \displaystyle g(x)=\text{O}_{x_0} (h(x)) \) , allora \( \displaystyle f(x)+g(x)=\text{O}_{x_0} (h(x)) \) .

iii) Se \( \displaystyle f(x)=\text{o}_{x_0} (g(x)) \) e \( \displaystyle \alpha \in \mathbb{R} \) , allora \( \displaystyle \alpha f(x)=\text{o}_{x_0} (g(x)) \) .

iv-a) Se \( \displaystyle f(x)=\text{o}_{x_0} (h(x)) \) e \( \displaystyle g(x)=\text{o}_{x_0} (k(x)) \) allora \( \displaystyle f(x)g(x)=\text{o}_{x_0} (h(x)k(x)) \) ; in particolare \( \displaystyle f^n(x)=\text{o}_{x_0} (h^n(x)) \) per ogni \( \displaystyle n\in \mathbb{N} \) .

iv-b) Se \( \displaystyle f(x)=\text{o}_{x_0} (h(x)) \) e \( \displaystyle g(x)=\text{O}_{x_0} (k(x)) \) allora \( \displaystyle f(x)g(x)=\text{o}_{x_0} (h(x)k(x)) \) .

Tali proprietà si dimostrano applicando direttamente le definizioni (1) e (2), perciò la dimostrazione è lasciata al lettore interessato.
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
A titolo d'esempio, proviamo la ii-b).

Dim.: Per la (1) esiste un \( \displaystyle P\geq 0 \) tale che \( \displaystyle |g(x)|\leq P\ |h(x)| \) definitivamente intorno ad \( \displaystyle x_0 \) ; per la (2), fissato \( \displaystyle \varepsilon =1 \) si ha \( \displaystyle |f(x)|\leq |h(x)| \) definitivamente intorno ad \( \displaystyle x_0 \) .
Ne consegue che \( \displaystyle |f(x)+g(x)|\leq |f(x)|+|g(x)|\leq (1+P)\ |h(x)| \) definitivamente intorno a \( \displaystyle x_0 \) , sicché è verificata la (1) con \( \displaystyle M=1+P \) . \( \displaystyle \square \)


Le proprietà i)-iv-b) si possono esprimere più sinteticamente come segue:
i') \( \displaystyle \text{o}_{x_0}(\text{o}_{x_0}(h(x))) =\text{o}_{x_0}(\text{O}_{x_0}(h(x)))=\text{O}_{x_0}(\text{o}_{x_0}(h(x)))=\text{o}_{x_0}(h(x)) \) .

ii'-a) \( \displaystyle \text{o}_{x_0}(h(x))+\text{o}_{x_0}(h(x))=\text{o}_{x_0}(h(x)) \) .

ii'-b) \( \displaystyle \text{o}_{x_0}(h(x))+\text{O}_{x_0}(h(x))=\text{O}_{x_0}(h(x)) \) .

iii') \( \displaystyle \alpha\cdot \text{o}_{x_0}(g(x)) =\text{o}_{x_0}(g(x)) \) per \( \displaystyle \alpha \in \mathbb{R} \) .

iv'-a) \( \displaystyle \text{o}_{x_0}(h(x))\cdot \text{o}_{x_0}(k(x)) =\text{o}_{x_0}(h(x)k(x)) \) ed \( \displaystyle \big[ \text{o}_{x_0}(h(x))\big]^n =\text{o}_{x_0}(h^n(x)) \) per \( \displaystyle n\in \mathbb{N} \) .

iv'-b) \( \displaystyle \text{o}_{x_0}(h(x))\cdot \text{O}_{x_0}(k(x)) =\text{o}_{x_0}(h(x)k(x)) \) .

Inoltre, dal raffronto delle (1) e (2) segue immediatamente che:
\( \displaystyle f(x)=\text{o}_{x_0}(g(x))\quad \Rightarrow \quad f(x)=\text{O}_{x_0}(g(x)) \) .
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)
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Messaggioda gugo82 » 20/12/2010, 03:10

Scusate se mi sono fermato, ma in questi giorni prenatalizi ho avuto il mio bel daffare all'università.

Conto di tornare sull'argomento durante le feste, tra un piattino di struffoli ed un roccocò.
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)
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Re: [Tutorial] I simboli di Landau

Messaggioda newton_1372 » 02/12/2012, 15:59

Ho difficoltà quando negli o-piccoli entrano i valori assoluti...tipo $o(abs(x)^3+y^2)$...per esempio se volessi confrontarlo con un denominatore che ha un $o(x^3+y^3)$...come posso fare?
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Re: [Tutorial] I simboli di Landau

Messaggioda ampetrosillo » 29/04/2014, 17:40

Se ricordo bene, il segno dell'argomento dell'o-piccolo è ininfluente, poichè possiamo pensare al segno come al prodotto di un termine per $ -1 $ o per $ +1 $, quindi i due o-piccoli suddetti sono di pari ordine.

(W rispondere mesi dopo).
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Re: [Tutorial] I simboli di Landau

Messaggioda Cuppls » 31/05/2015, 17:56

Devo verificare quanto segue:
$f(x)=O(x) Rightarrow f(x)=o(x)$ entrambi per $x to +infty$
Io faccio cosi:
Scrivo
$o(x)=O(x)$
e verifico che sia vero
$(o(x))/x=(x*o(1))/x=o(1) to 0 text( per ) x to infty Rightarrow o(x)=O(x)$
Allora $f(x)=O(x) Rightarrow f(x)=o(x) text( per ) x to infty $ è vera.
E' corretto?
Se si allora mi viene da dire che sia vera per x che tende a qualsiasi numero reale anche!
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Re: [Tutorial] I simboli di Landau

Messaggioda Bossmer » 19/04/2016, 18:16

Molto interessante, ma ti sei fermato sul più bello!
Gli altri due simboli?? al contrario dei primi due non mi pare di averli mai letti.

Potresti continuare il tuo excursus sui simboli di Landau??


Ultimo bump di Bossmer effettuato il 19/04/2016, 18:16.
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