Convergenza agli estremi della serie binomiale

[dissonance]

Mi sono imbattuto in questa affermazione:

la serie di Taylor di \( \displaystyle (1+t)^{\alpha} \) , ovvero

\[\sum_{k=0}^\infty \begin{pmatrix} \alpha \\ k \end{pmatrix} t^k\],

converge uniformemente su \( \displaystyle [-1, 1] \) se \( \displaystyle \alpha > 0 \) .

E' chiaro che si tratta di una applicazione del teorema di Abel, ma come si dimostra... Qualche idea? Mi imbroglio paurosamente con quel coefficiente binomiale. Precisamente il caso che mi interessa è per \( \displaystyle \alpha=1/2 \) .

[Rigel]

Puoi applicare il criterio di Raabe; posto \( \displaystyle a_k = |\begin{pmatrix}\alpha \\ k \end{pmatrix}| \) hai che esiste
$\lim_k k (\frac{a_k}{a_{k+1}} - 1) = \alpha + 1$.
Dunque, se $\alpha > 0$ la serie $\sum a_k$ converge, mentre per $\alpha < 0$ diverge.
(Nel caso in cui il limite vale $1$ il criterio di Raabe non permette di concludere niente, ma in questo caso ha poco interesse.)

[dissonance]

Il criterio di Raabe! Certo che ne sai una più del diavolo, Rigel.

[Rigel]

Ma no, è che questo è uno dei pochi casi in cui ho visto applicare quel criterio con un qualche senso.