Fattoriale, questo sconosciuto

[Ulyx3s]

Ultimamente nello studio di serie di funzioni mi sono ri-imbattuto in un dilemma che più volte ho incontrato nel mio percorso di studi, che è la funzione fattoriale..
più precisamente trovo difficoltà nell utilizzarla non essendo una funzione su un intervallo reale, il che mi crea spesso problemi..

l ultimo esempio è questo limite:

$lim_(n -> infty) n/(n!)^(1/n )$

in primo luogo non è chiaramente possibile affidarsi alla derivazione per metodi quali de l Hopital (e a proposito di questo verrò dopo) e inoltre risulta difficile considerare le maggiorazioni all infinito, perchè se faccio:

$ (n!)^(1/n ) < (n^n)^(1/n ) = n -> infty$
non concludo nulla..

ora io mi chiedo: non esistono proprio modi per studiare una sorta di funzione fattoriale estesa per continuità su $RR$, o perlomeno avere un idea approsimativa di una funzione che possa assomigliare alla sua "derivata", in modo tale da capirne bene l andamento rispetto alle altre funzioni, perchè ok che abbiamo la solita scaletta..

$ax < x^b < c^x < x! < x^x$, però appena ci si presenta un limite così nel quale il fattoriale è elevato dovremmo estendere la scala di maggiorazioni a molte più possibili funzioni che troviamo di questo tipo..

non so ma solo il denominatore del mio limite mi mette nel pallone (che poi tra l altro sarà un infinito quindi il tutto sarà ancora una forma indetermninata..

boh vediamo se qualcuno ha suggerimenti da darmi, anche in merito ai dubbi generici sulla funzione x!..
grazie per le risposte ..

[Rigel]

Secondo me, in questi casi, può essere opportuno utilizzare la formula di Stirling:
per ogni $n\in\mathbb{N}$ esiste $\theta_n \in (0,1)$ tale che $n! = n^n e^{-n} \sqrt{2\pi n}\cdot \exp(\frac{\theta_n}{12 n})$,
a volte scritta anche come
$n! \sim n^n e^{-n} \sqrt{2\pi n}$.

[Seneca]

per ogni $n\in\mathbb{N}$ esiste $\theta_n \in (0,1)$ tale che $n! = n^n e^{-n} \sqrt{2\pi n}\cdot \exp(\frac{\theta_n}{12 n})$,

Scusami se riprendo il topic. Per curiosità, cosa significa questo fatto che hai scritto? Da dove deriva?

[Rigel]

E' uno dei modi per scrivere la formula di Stirling.
Se ti interessano i termini successivi puoi consultare anche
http://it.wikipedia.org/wiki/Approssima ... i_Stirling
http://mathworld.wolfram.com/StirlingsA ... ation.html