Equazione differenziale

[Ene@]

$y''+y=xsenx$

[Kroldar]

dov'è la difficoltà? dai che non è per niente difficile... dove ti sei bloccato?
risolvi l'omogenea associata, poi per trovare la soluzione particolare non sei costretto a usare il metodo di Lagrange ma quello ridotto

[Thomas]

Scusate se intervengo (chiedo scusa ad Enea, principalmente! ) in questa cosa che non so risolvere, ma oggi pomeriggio ho cercato anch'io di imparare qualcosa sulle equazioni differenziali un pò... e questo sito serve per imparare, no???

L'unico metodo a me conosciuto per queste equazioni (non conosco il nome) mi porta a dire che una soluzione particolare è:

$y(x)=int_0^x sin(x-s)ssin(s)ds$

E' giusto? (lo chiedo perchè non sono sicuro di avere applicato bene il tutto e perciò non mi lancio a calcolare l'integrale) qualcuno ha un software di calcolo o altro per confermare???

[david_e]

Scusate se intervengo (chiedo scusa ad Enea, principalmente! ) in questa cosa che non so risolvere, ma oggi pomeriggio ho cercato anch'io di imparare qualcosa sulle equazioni differenziali un pò... e questo sito serve per imparare, no???

L'unico metodo a me conosciuto per queste equazioni (non conosco il nome) mi porta a dire che una soluzione particolare è:

$y(x)=int_0^x sin(x-s)ssin(s)ds$

E' giusto? (lo chiedo perchè non sono sicuro di avere applicato bene il tutto e perciò non mi lancio a calcolare l'integrale) qualcuno ha un software di calcolo o altro per confermare???

Si dovrebbe essere giusto. Questa soluzione particolare si ottiene usando la trasformata di Laplace per risolvere l'equazione... Ho fatto i conti a mente per cui non garantisco sulla correttezza, ma a me viene lo stesso risultato.

[Kroldar]

a me invece sembra sbagliato... perché quell'integrale, che non è altro che la convoluzione tra $u(x)senx*u(x)senx$ dovrebbe risultare $y=(senx-xcosx)/2$, la cui derivata seconda è $y''=(senx+xcosx)/2$... ora se sommiamo le due funzioni otteniamo $senx$ e non $xsenx$ come invece dovrebbe essere

[Thomas]

non so cosa sia la "convoluzione" ... ora non ho tempo di fare i calcoli e devo andare... dopo controllo...
solo una cosa Kroldar... non è che ti sei dimenticato la $s$ dentro all'integrale? (ce ne sono tre di fila intervallate da una parentesi )
Te lo chiedo perchè ieri sera ho provato a farlo quell'integrale e non mi veniva così semplice... poi ho lasciato perdere perchè era tardi ed i calcoli venivano a farsi troppi... se ti fossi dimenticato la $s$ tutto quello che ti torna sarebbe giusto...

[Ene@]

L'equazione caratteristica, $lambda^2+1=0$, ha come radici $lambda_1=i$, $lambda_2=-i$,e quindi l'integrale generale dell'omogenea associata è $z=c_1cosx+c_2senx$.
Il secondo membro dell'eq.differenziale data è della forma:
$f(x)=e^(alphax)[P(x)cosbetax+Q(x)senbetax]$, ove : $alpha=0$, $beta=1$, $P(x)=0$, $Q(x)=x$.
Pertanto un integrale particolare è: $phi(x)=x[(ax+b)cosx+(cx+d)senx]$.
Sostituendo $phi$ e $phi''$ nella prima ed eguagliando i coefficienti di $cosx$, $xcosx$, $senx$ e $xsenx$ nei due membri dell'uguaglianzasi trova $a=-1/4$, $b=c=0$, $d=1/4$
......sostituendo il tutto il gioco è fatto.

[david_e]

Ho fatto quell'integrale col Matlab. Risulta:

$\int_0^x sin(x-s)ssin(s)ds=1/4(xsin(x)-x^2cos(x))$

facendo i conti dovrebbe tornare tutto. Comunque senza stare a fare l'integrale si capisce che é giusto perché la soluzione particolare é data dalla formula:

$y(x)=\mathcal{L}^{-1}[1/(s^2+1)](x) ** xsin(x)=\int_0^x sin(x-s)ssin(s)ds$

[Ene@]

Ho fatto quell'integrale col Matlab. Risulta:

$\int_0^x sin(x-s)ssin(s)ds=1/4(xsin(x)-x^2cos(x))$

facendo i conti dovrebbe tornare tutto. Comunque senza stare a fare l'integrale si capisce che é giusto perché la soluzione particolare é data dalla formula:

$y(x)=\mathcal{L}^{-1}[1/(s^2+1)](x) ** xsin(x)=\int_0^x sin(x-s)ssin(s)ds$

ma come le risolvete le equazioni differenziali?

[Thomas]

@ENEA84:

visto che sto cercando di imparare adesso le equazioni, mi diresti come si chiama il metodo che hai utilizzato per trovare la particolare??...

@david_e:

spero che tu abbia ragione!