Es su funzioni con derivate uguali

[m92c]

Due funzioni entrambe definite in un sottoinsueme A di R hanno derivate uguali in ogni punto di A.
a) \( \displaystyle \exists c \in \mathbb{R} : f(x) = g(x) + c \quad \forall x \in \mathbb{R} \) ?
b) Supponendo che \( \displaystyle A = ]0,1[ \cup ]1,2[ \cup ]2,3[ \) è possibile definire f e g nei punti di ascissa 0, 1, 2, 3 in modo tale che f-g è integrabile secondo Riemann in [0,3]?

Per cominciare a rispondere alla prima domanda, ho notato che se hanno derivate uguali in ogni punto di A, le due funzioni hanno i limiti del rapporto incrementale uguale e, quindi, \( \displaystyle f'(x) - g'(x) = 0 \) (ma non so se questo mi possa essere utile).
Poi ho pensato che le funzioni saranno anche continue in tutto il loro insieme di definizione e, di conseguenza, continue in ogni intervallo contenuto in A. Quindi sono integrabili secono Riemann.
Da qua in poi non ho la più pallida idea di come continuare e, soprattutto, se tutto quello che ho detto sia giusto e se mi possa servire...
Consigli?

[gio73]

Ciao m92c io non sono una cima quindi non ti fidare, provo a fare un ragionamento grafico ma tu lo devi controllare bene:

allora se le due funzioni hanno derivate uguali in ogni punto x appartenente all'intervallo significa che le tangenti alla prima e seconda curva hanno la stessa inclinazione, sono parallele, in corrispondenza della generica ascissa x. Il valore della funzione cambierà, una y per la prima, una per la seconda. Ma se le tangenti sono sempre parallele vuol dire che se percorro l'una e l'altra curva lungo l'intervallo considerato hanno lo stesso andamento, quando è crescente una è crescente anche l'altra, se una ha un massimo ha un massimo anche l'altra, ecc... mi sembra che si possa dire che per qualsiasi ascissa le corrispondeti ordinate si trovino sempre alla stessa distanza (c appunto).
Che ne dici?

[Gi8]

Attenzione, qui non si parla di intervallo. $A$ è un generico sottoinsieme di $RR$. Quindi in generale non è un intervallo

[m92c]

per la prima domanda penso di esserci arrivata... Se derivo \( \displaystyle f(x) = g(x) + c \) ottengo \( \displaystyle f'(x) = g'(x) \) dal momento che la derivata di una costante è zero. Quindi siccome so che sono derivabili in ogni punto del dominio e le derivate sono uguali, ho dimostrato la prima uguaglianza.
Per la seconda continuo a non capire come fare.Teoricamente dovrei vedere se f e g sono estendibili per continuità nei punti estremi del dominio (così poi risultano continue in [0,3] e, quindi, integrabili), ma non so come fare...

[Palliit]

Ciao. Prendi come controesempio:

$f(x)=0$__$ "se " x \in "]"0,1[$,
$ ...=1 " se " x \in "]" 1,2[$

$g(x)=0 " se " x \in "]"0,1[$,
$ ...=2 " se " x \in "]" 1,2[$

(scusate ma non so perchè non mi accetta la graffa, comunque sono due funzioni definite a tratti).

Hanno entrambe derivata nulla in $A="]"0,1[\cup"]"1,2[$, ma la loro differenza non è costante.

[Plepp]

Volendo essere pignoli sulla prima domanda, la risposta è no a prescindere si richiede che $c$ sia tale che blablabla $\forall x \in RR$, il che è impossibile, a meno che non sia $A \equiv \RR$

Ciao!!

[Luca1966]

...se le due funzioni hanno derivate uguali in ogni punto x ...significa che le tangenti alla prima e seconda curva hanno la stessa inclinazione, sono parallele, in corrispondenza della generica ascissa x... se le tangenti sono sempre parallele vuol dire che ...per qualsiasi ascissa le corrispondeti ordinate si trovano sempre alla stessa distanza (c appunto)...

Molto chiaro.

[gio73]

Grazie Luca, ma.... DODICI anni dopo?!?

[Luca1966]

Eh... sono lento di comprendonio...

(Nota: emoticon non ammesso nel messaggio)