Posso dire la mia?
Il punto è che le verifiche che avete fatto - per la carità, correttissime! - sono inutili. Infatti, nel momento stesso in cui si ha una proprietà universale, esistenza ed unicità sono automaticamente garantite, senza bisogno di aggiungere altro. In particolare, visto che la topologia quoziente ha questa proprietà universale, allora è unica a meno di isomorfismo, che in questo caso significa unica a meno di omeomorfismo.
Il motivo? Andiamo con ordine. Sia \( \displaystyle F \colon \mathbf D \to \mathbf C \) un funtore tra categorie. Una freccia universale da un elemento \( \displaystyle c \in \mathbf C \) a \( \displaystyle F \) è un elemento \( \displaystyle (d,u) \in (c \downarrow F) \) (detta comma categoria, e questo significa che \( \displaystyle u \colon c \to F(d) \) è una freccia in \( \displaystyle \mathbf C \) , mentre \( \displaystyle d \in \mathbf D \) è un oggetto di \( \displaystyle \mathbf D \) ) tale che per ogni altro \( \displaystyle d' \in \mathbf D \) ed ogni freccia \( \displaystyle v \colon c \to F(d') \) esiste unica \( \displaystyle f \colon d \to d' \) tale che \( \displaystyle F(f) \circ u = v \) . In diagramma:
![\xymatrix{ d \ar@{.>}[d]^{\exists ! f} & c \ar[dr]^v \ar[r]^u & F(d) \ar@{.>}[d]^{F(f)} \\ d^\prime & & F(d^\prime) }](/forum/latexrender/pictures/ed5b000baf308baa46d65c418023f8bd.png "\xymatrix{ d \ar@{.>}[d]^{\exists ! f} & c \ar[dr]^v \ar[r]^u & F(d) \ar@{.>}[d]^{F(f)} \\ d^\prime & & F(d^\prime) }")
Ottimo. Allora, è un facile esercizio per voi dimostrare che esiste una freccia universale da \( \displaystyle c \) a \( \displaystyle F \) sse la comma categoria \( \displaystyle (c \downarrow F) \) ha un oggetto iniziale (*), sse il funtore \( \displaystyle \text{hom}(c,F-)\colon \mathbf D \to \mathbf{Set} \) è rappresentabile.
Ora, alla luce di questo esercizio, è chiaro che due frecce universali devono per forza essere isomorfe, perché gli oggetti iniziali sono unici a meno di isomorfismo.
Nel caso concreto della topologia quoziente, si può rivedere il tutto in questo frame in questo modo: si fissi una suriezione (**) \( \displaystyle p \colon X \to Y \) . Allora si consideri il funtore di proiezione \( \displaystyle F \colon (X \downarrow \mathbf{Top}) \to \mathbf{Set} \) definito da \( \displaystyle F((X,Z,f)) \to Z \) . Diremo che \( \displaystyle Y \) ha la topologia quoziente rispetto a \( \displaystyle p \) se la coppia \( \displaystyle (Y,p) \) è una freccia universale da \( \displaystyle X \) al funtore \( \displaystyle F \) .
Nota: per essere precisi, bisognerebbe dire che la coppia \( \displaystyle ((X,Y,p),p) \) è una freccia universale da \( \displaystyle X \) (pensato come insieme) a \( \displaystyle F \) .
(*) Magari do la definizione di comma categoria. Siano \( \displaystyle F \colon \mathbf A \to \mathbf B \) , \( \displaystyle G \colon \mathbf C \to \mathbf B \) due funtori. La comma categoria \( \displaystyle (F \downarrow G) \) è definita come la categoria i cui oggetti sono le terne \( \displaystyle (a,c,f) \) con \( \displaystyle a \in \mathbf A \) , \( \displaystyle c \in \mathbf C \) , \( \displaystyle f \colon F(a) \to G(c) \) è una freccia in \( \displaystyle \mathbf B \) . Fissati gli oggetti \( \displaystyle (a_1,c_1,f), (a_2,c_2,g) \) , diciamo che una freccia tra di essi è una coppia \( \displaystyle (h,k) \) di frecce con \( \displaystyle h \colon a_1 \to a_2 \) , \( \displaystyle k \colon c_1 \to c_2 \) tali che
![\xymatrix{ a_1 \ar[d]^h & F(a_1) \ar[d]^{F(h)} \ar[r]^f & G(c_1) \ar[d]^{G(k)} & c_1 \ar[d]^k \\ a_2 & F(a_2) \ar[r]^g & G(c_2) & c_2}](/forum/latexrender/pictures/57472408689819e212165d873d26accb.png "\xymatrix{ a_1 \ar[d]^h & F(a_1) \ar[d]^{F(h)} \ar[r]^f & G(c_1) \ar[d]^{G(k)} & c_1 \ar[d]^k \\ a_2 & F(a_2) \ar[r]^g & G(c_2) & c_2}")
commuti.
Nel caso che ho preso in considerazione prima, si pensi a \( \displaystyle c \) come al funtore costante \( \displaystyle \mathbf 1 \to \mathbf C \) , che seleziona l'elemento \( \displaystyle c \) .
(**) E qui mi si obietterà: suriezione
continua. In realtà, l'ho omesso
volontariamente perché è ridondante. Lì, stiamo lavorando nella categoria \( \displaystyle \mathbf{Top} \) dove le frecce sono mappe continue, quindi è inutile ripeterlo tutte le volte. Semmai, bisogna dire che una funzione
non è continua...
P.S. Vi sembra un formalismo astratto e costruito? Studiatelo per un mesetto, vedrete che cambierete idea!!!
P.P.S. @EnderWiggins: Collino? Io sono
scappato da
Torino, tra le tante altre ragioni, per non dover più sentire i suoi discorsi a metà tra il divulgativo ed il discorso da bar! E sono dell'idea che o usi le categorie (il che significa con i dovuti crismi, con tanto di problemi fondazionali annessi!), o non le usi. E bada bene che fosse per me le metterei obbligatorie dal primo anno!
I believe in the axiom of choice, and in particular that every proper ideal in a ring is contained in a maximal ideal!
