Sì, in effetti l'esercizio 18.a è corretto... basta ricordare a che servono le basi topologiche!
Domani, se mi si lascia spazio, proporrò un esercizio\sorpresa.
Buona notte
perplesso ha scritto:Azz hai quasi ragione... io dicevo questo: per ogni $n$ utilizzo Lindelof per affermare l'esistenza di un ricoprimento numerabile di $X$ mediante palle di raggio $1/n$. In questo modo ottengo una collezione numerabile di ricoprimenti numerabili. L'unione di questa collezione è ancora numerabile. Quello che ho sbagliato è che non ho effettivamente dimostrato che quella che ottengo è una base.
perplesso ha scritto:non ha senso perchè non è detto che $B(x,1/n)$ sia un elemento della mia "base". Invece avrei dovuto dire che $x$ è contenuto in qualche palla facente parte della "base" con raggio sufficientemente piccolo da essere contenuta nell'intono $I_x$. Così è meglio?
j18eos ha scritto:Domani, se mi si lascia spazio, proporrò un esercizio\sorpresa
Ecco cosa sbagli, ottieni sì un ricoprimento per aperti di \(X\times Y\) estratto da \(C\), ma fai attenzione... Preferisco che ci arrivi tu da solo, tanto hai tutte le capacità!perplesso ha scritto:...Se scegliamo un elemento di $C$ per ogni $A_i$ e un elemento di $C$ per ogni $B_i$ otteniamo un ricoprimento numerabile di $X xx Y$...
perplesso ha scritto:Ecco ci ho pensato secondo me l'argomento da portare è analogo a quello del punto (a) ... dato $x$ e un suo intorno $I_x$ esiste un $n$ abbastanza grande tale che $B(x,1/n) \subset I_x$. Il ricoprimento numerabile da noi costruito contiene sicuramente una palla di raggio $1/{2n}$ che contiene $x$. Tale palla è banalmente contenuta in $B(x,1/n)$ e quindi in $I_x$.
j18eos ha scritto:Ecco cosa sbagli, ottieni sì un ricoprimento per aperti di \(X\times Y\) estratto da \(C\), ma fai attenzione...perplesso ha scritto:...Se scegliamo un elemento di $C$ per ogni $A_i$ e un elemento di $C$ per ogni $B_i$ otteniamo un ricoprimento numerabile di $X xx Y$...
Non mi è tanto chiaro questo passaggio, forse pure un po colpa della notazione non proprio liscia!perplesso ha scritto:...Adesso per ogni $U_i$ scegliamo uno dei ricoprimenti $C_x$ tale che $U_i xx Y \subset \bigcup C_x$. Otteniamo così una collezione numerabile di ricoprimenti finiti $C_1,C_2,...$
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