sara09 ha scritto:T e' detto linearmente chiuso se :
(U+V) appartiene a T
(U•V) appartiene a T
No sara!
Innanzitutto, concordo anch'io sul fatto che l'espressione "linearmente chiuso" non sia appropriata.
Uno spazio vettoriale deve essere chiuso rispetto alla somma (ovvero la somma di due elementi qualsiasi deve dare un nuovo elemento che appartenga al medesimo spazio) e deve essere chiuso rispetto al prodotto per uno scalare (ovvero moltiplicando qualasiasi vettore per un "numero" deve uscire fuori un nuovo vettore che appartenga al medesimo spazio).
Tu hai scritto che deve essere chiuso rispetto al prodotto scalare, che è un'altra cosa e non è vero a meno che lo spazio in questione non sia $R^1$.
Infine uno spazio vettoriale deve contenere l'elemento neutro alla somma, ovvero il vettore nullo.
L'idea per risolvere l'esercizio è corretta ma come ti hanno fatto notare è l'esecuzione che non è "precisa".
Guardiamo il sottospazio di $R^3$ in questione dal punto di vista geometrico: è una retta che passa per il punto P=(1,0,1) di direzione (2,1,-1). Si possono dare due sole casisitiche:
a) P è contenuto nello span, quindi la retta passa per l'origine = è uno spazio vettoriale (come si dimostra facilmente).
b) P non è contenuto nello span, quindi la retta non passa per l'orgine = non è uno spazio vettoriale perchè non contiene l'elemento neutro (e non solo)
Quindi come ti hanno detto devi mettere in evidenza la b)
Il sottospazio in questione è dato da tutti i punti (x,y,z) tali che:
$ { ( x=2a+1 ),( y=a ),( z=1-a ):} $
Contiene il vettore nullo? controlliamo ponendo a zero tutte e tre le componenti e otteniamo che:
$a=-1/2$ $a=0$ e infine $a=1$
Possono essere vere tutte e tre contemporaneamente? No. Quindi il punto P non si trova nello span di a(2,1,-1).
La retta non passa per l'origine e quinbdi non è uno spazio vettoriale. Inutile procedere con le chiusure rispetto alla somma e al prodotto (che sarebbero entrambe false).