Inclusione tra chiusure

[feddy]

Ho provato a risolvere questo esercizietto di topologia, ma, ammesso che la mia strategia sia corretta, mi blocco nella dimostrazione.

Sia $Y$ un sottospazio topologico di $X$ e sia $A \subset Y$. Dimostrare che $ Cl_Y(A) \subset Cl_X(A)$

Dim.:
Sia $sigma_Y$ la famiglia dei chiusi di $Y$ con la topologia indotta.

Suppongo per assurdo che $ Cl_X(A) \subset Cl_Y(A)$. Allora si ha $nnn_i C_i \subset nnn_i D_i$, con $C_i \in \sigma_X, A \subset C_i$ e $D_i \in \sigma_Y, A \subset D_i$. Cioè il più piccolo chiuso di X contente $A$ è contenuto nel più piccolo chiuso di $Y$ contenente $A$. Quindi esiste un elemento dell'intersezione dei chiusi di $Y$ che contengono $A$ che non è contenuto in quella degli $X$ che contengono ancora $A$,ma questo è assurdo perché $A \subset Y subset X$.

Può andare?

[killing_buddha]

E' evidente che se $U\subseteq V$ sono insiemi, allora \(\bigcap U \subseteq \bigcap V\).

Ed è altrettanto evidente che esiste una funzione iniettiva \( \{ C'\subseteq X,\; C'\supseteq A\} \to \{C\subseteq Y,\; C\supseteq A\}\) quando viene ristretta ai chiusi: è l'intersezione con $Y$, perché se $C'$ è chiuso e contiene $A$, allora $C'\cap Y$ è chiuso e contiene $A$.

Da ciò deduci che la chiusura di $A$ nel sottospazio piccolo è contenuta nella chiusura nel sottospazio grande: l'inclusione è propria, \( A = [0,1), Y=(-1,1), X=\mathbb{R}\).

[feddy]

Grazie mille @killing_buddha ! Così viene molto meglio

Secondo te per come stavo procedendo per contraddizione potevo andare avanti oppure non era la strada corretta?