Esercizio Riemann Surfaces

[Matemagica11]

Buonasera a tutti!

Avrei bisogno di qualche idea su come poter risolvere questo esercizio, premetto che ultimamente mi sto orientando verso l'Analisi e sono un po' arrugginita in geometria, quindi perdonate i possibili sfondoni

Siano $p_1,...,p_n$ punti distinti di una superficie di Riemann compatta $X$ e $z_1,...,z_n$ punti distinti di $\mathbb{C}$, mostrare che esiste una funzione meromorfa su $X$ che mappa $p_i$ in $z_i$ $\forall i$.

Qualche suggerimento? Forse devo usare Riemann-Roch?

[hydro]

Un'idea è questa: come fai a costruire una funzione $f$ tale che $f(p_1)\ne 0$ e $f(p_i)=0$ per $i>1$? Beh, considera i divisori $D=mQ-p_2-p_2-\ldots-p_n$ e $D'=mQ-p_1-p_2-\ldots-p_n$, dove $m$ è un intero positivo sufficientemente grande e $Q$ è un punto diverso dai $p_i$. Chiama $L(D)$ e $L(D')$ gli spazi di Riemann-Roch dei divisori e $l(D),l(D')$ le loro dimensioni. Adesso per Riemann-Roch $l(D)=m-n-g+2$ mentre $l(D')=m-n-g+1$, dove $g$ è il genere di $X$. Ma allora esiste una funzione in $L(D)$ che non sta in $L(D')$: questa è esattamente la $f$ che cercavamo. Da qui in poi concludere l'esercizio dovrebbe essere semplice.

[Matemagica11]

Ok grazie mille @hydro tutto chiaro!