Sottoinsiemi di $RR^3$

[otta96]

Certo che ci sono altri modi, col complementare ad esempio.

[andreadel1988]

Certo che ci sono altri modi, col complementare ad esempio.

Ah tu dici effettivamente che se prendo un qualunque punto nel complementare, se sta fra $S_n^2$ e $S_(n+1)^2$ prendi come raggio della sfera aperta di centro il punto che sta tutta nel complementare $r<=sqrt(1/2^n)-sqrt(1/2^(n+1))$, mentre se il punto si trova all'esterno della sfera $S_1^2$ prendi una sfera aperta di centro il punto che ha raggio minore o uguale della distanza del punto da $S_1^2$ ( e sta tutta nel complementare). Come dimostrazione può andar bene? Mentre pe il gruppo fondamentale di $X$ come faresti tu con Van Kampen oppure con retrazioni per deformazioni\equivalenze omotopiche?

[otta96]

Si, anche se $r$ andrebbe preso $<min{|x|-2^(-n-1),2^(-n)-|x|}$. Per il gruppo fondamentale io farei "a mano".

[andreadel1988]

Per il gruppo fondamentale io farei "a mano".

In che senso a mano? Mostri che ogni laccio è omotopo al laccio costante?

[otta96]

Si.

[andreadel1988]

Si.

Come mai faresti a mano? Nel senso tu dici che Van Kampen o retrazioni/equivalenze omotopiche non si possano fare in questo caso o comunque sono molto difficili?

[megas_archon]

Santoddio, nessuna dimostrazione si fa a mano in math.AT se sei sufficientemente intelligente; gli unici a farle a mano sono gli analisti. A maggior ragione questa, mostrare "a mano" che ogni laccio è omotopo a una costante è sintomo di malattia mentale:

Se nulla non ti va bene dell'argomento che ti ho dato prima, lo ripeto: a pagina 11 del capitolo 0 di Hatcher viene detto che

If (X, A) is a CW pair consisting of a CW complex X and a contractible subcomplex A,
then the quotient map X→X/A is a homotopy equivalence

Con questo semplicissimo risultato (è enunciato nel capitolo zero, manco nell'1) si semplificano la quasi totalità degli esercizi che potrai mai vedere nella tua vita.

Usando il lemma in questione in questo caso, puoi disfarti interamente del piano e contrarlo a un punto; quello che ti resta, usando di nuovo una semplicissima trasformazione, è la somma di 20 copie di \(S^2\) attaccate per un punto. (Ma, siccome da quel che vedo questa nozione non sembra esserti molto chiara, ripeto che nessuna di queste mappe è un omeomorfismo --nessuna può esserlo; sono, invece, equivalenze omotopiche). Ora, \(\pi_1(A\lor B)\cong \pi_1(A)\ast \pi_1(B)\) (è una banale applicazione di van Chiappe) e quindi...

Ma se proprio proprio vuoi usare van Chiappe, si fa ancora prima, perché il \(\pi_1\) dello spazio che ti interessa è il pushout dello span
\[\begin{CD}
\pi_1(U\cap V) @>>> 1 \\
@VVV @. \\
1 @.
\end{CD}\] che è ovviamente il gruppo banale, a patto di scegliere due aperti \(U,V\) "della stessa forma, nel modo seguente: sia \(\varepsilon > 0\) e definisci \(K_\varepsilon := \{x\le \varepsilon\}\), \(H_\varepsilon := \{x\ge -\varepsilon\}\); ora, \(U := X\cap K_\varepsilon, V:=X\cap H_\varepsilon\).
Chi sia \(\pi_1(U\cap V)\) è del tutto irrilevante, come vedi... (in ogni caso, è un prodotto libero di copie di Z)

[andreadel1988]

Ma le calotte sferiche sono contraibili? Dovrebbero essere omeomorfe a qualche variante di $D^2$ se non erro (per variante intendo raggio diverso da quello unitario a meno che la calotta sferica non coincide con la semisfera)

[andreadel1988]

Volevo provare per induzione che il gruppo fondamentale di $X$:
Poniamo $X_n=(uu_{k=1}^nS_k^2)uu\Pi$
Passo base: sia $n=1$ allora prendo come aperti $A=X_1\\{(0,0)}$ e $B={(x,y,0)inRR^3|x^2+y^2<1/4}$ abbiamo che $A,B,AnnB$ sono connessi per archi. In $A$ retraggo $Pi\\{(0,0)}$ sulla circonferenza $x^2+y^2=1/2$ per cui rimane la sfera e quindi $A$ è semplicemente connesso. Siccome $B$ è una palla aperta di $RR^2$ è semplicemente connessa e quindi $X_1$ è semplicemente connesso per Van Kampen.

Passo induttivo: supponiamo che $X_(n-1)$ sia semplicemente connesso, mostriamo che $X_n$ è semplicemente connesso, sia $A=X_n nn{(x,y,z)inRR^3|x^2+y^2+z^2<(2/5)^2}$ e $B=X_n nn{(x,y,z)inRR^3|x^2+y^2+z^2>(1/3)^2}$. Abbiamo che $X_(n-1)$ è omeomorfo a $(uu_{k=2}^nS_k^2)uu\Pi$ che a sua volta si può retrarre per deformazione su $A$, quindi $A$ è semplicemente connesso. Infine $B$ lo retraggo sulla sfera $x^2+y^2+z^2=1/2$ e anche esso è semplicemente connesso. Per cui $X_n$ è semplicemente connesso.

Può andare bene?

[megas_archon]

Dimostrarlo per induzione è la maniera più stupida: $X$ risulta da dieci sfere con lo stesso centro e raggio \(2^{-n}\) per \(n=1,\dots,10\), e \(\Pi\) è il piano orizzontale che le taglia all'equatore. Contrai il piano a un punto, ti resta uno spazio che è omeomorfo alla somma wedge di venti sfere. E quindi è semplicemente connesso.

Pensa a queste domande: \(X\cap \{y=0\}\) è semplicemente connesso? E che dire di \(X_\infty = \lim_{n\to\infty}X_n\)? E di \(X_\infty\cap \{y=0\}\)?