Premesso che l'esistenza dell'endomorfismo è assicurata dal punto di vista teorico (a rigore, rispondendo solo affermativamente, per onestà intellettuale l'autore del testo non dovrebbe avere nulla da eccepire), puoi cominciare determinando i seguenti sottospazi in forma parametrica:
Nucleo di f
$[[4,4,2],[4,2,2],[8,4,4]][[x],[y],[z]]=[[0],[0],[0]] rarr$
$rarr [[x],[y],[z]]=u[[1],[0],[-2]]$
Immagine di f
$[[barx],[bary],[barz]]=[[4,4,2],[4,2,2],[8,4,4]][[x],[y],[z]] rarr$
$rarr [[barx],[bary],[barz]]=x[[4],[4],[8]]+y[[4],[2],[4]]+z[[2],[2],[4]] rarr$
$rarr [[barx],[bary],[barz]]=(4x+2z)[[1],[1],[2]]+2y[[2],[1],[2]] rarr$
$rarr [[barx],[bary],[barz]]=u[[1],[1],[2]]+v[[2],[1],[2]]$
$[u=4x+2z] ^^ [v=2y]$
A questo punto, lascio a te riflettere su come concludere.