Definizioni ed esempi legati agli spazi proiettivi

[paolo1712]

Potreste darmi una mano nel chiarire i seguenti dubbi?
Sia $P(V)$ lo spazio proiettivo associato a $V$.

1) Se $dimV=0$ cioè se $V={0_V}$ si ha che $V-{0_V}=O/$ perciò $P(V)=O/$ e $dimP(V)=dimO/=dimV-1=-1$. Magari è banale ma, come fa l'insieme vuoto ad essere dotato di struttura di spazio vettoriale? Non posso definire alcuna operazione. Dunque che senso ha uno spazio proiettivo associato a qualcosa che non è uno spazio vettoriale?

2) Per dare una definizione preliminare di retta proiettiva reale, si costruisce il seguente esempio. Sia $V=\RR^2$ In particolare identifichiamo $\RR^2$ con lo spazio affine numerico $\RR^2-=A_2(\RR)$.
Premetto che oltre alla definizione di spazio proiettivo mediante l'insieme quoziente, ci è stato definito anche mediante il concetto di grassmanniana dei sottospazi 1-dimensionali. Dunque $P^1(\RR)$ è dato dai sottospazi di $\RR^2$ aventi dimensione 1 cioè dalle rette passanti per l'origine.
Fin qui mi è tutto chiaro se non fosse che dato un generico vettore $v\inV$, si ha che $[v]_~ "="<v>"-"{0_V}$. Ma allora $P^1(\RR)$ non dovrebbe essere un insieme di rette discontinue nell'origine?

3) Sempre in riferimento a quanto detto sopra, si parla di coordinate di $\RR^2$ e dette tali $(x,eta)$, abbiamo che il vettore $(alpha,beta)\in\RR^2$ (ed ogni vettore proporzionale) inidividua la retta di equazione $\alpha eta -beta x=0$.
Che cosa si intende con coordinate di$\RR^2$? Non essendo un punto di $P^1(V)$ come fa ad ammettere coordinate omogenee?

4) In merito al cambiamento di coordinate omogenee. Siano $B={e_0...e_n}$ e $B'={F_0...F_n}$ due basi di V. Sia $A$ la matrice di passaggio dunque $forall v=x_0e_0+...+x_n"e_n=eta_0F_0+...+eta_nF_n$ si ha $eta=Ax$. Si afferma che la matrice A che esprime il cambiamento di coordinate omogenee non è univocamente determinata in quanto dipende dalla scelta diversa delle basi. Quindi due basi diverse daranno luogo ad una matrice $C$ tale che che $C=\alpha*A$ che "genererà" l'equazione $eta=alpha*A*x$ che in termini di coordinate omogenee è equivalente all'equazione $eta=Ax$.
Ora, io ho provato a fare un esempio scegliendo 4 basi casuali, non proporzionali. Non è vero che le matrici di passaggio sono (sempre) proporzionali. Ho sbagliato io a fare i conti o vale solo per basi proporzionali o per basi con determinate caratteristiche?

Vi ringrazio per l'aiuto e per il vostro tempo.

[megas_archon]

come fa l'insieme vuoto ad essere dotato di struttura di spazio vettoriale?

Infatti non ne è dotato; lo spazio proiettivo su $(0)$ è l'insieme vuoto, e si chiama "vuoto proiettivo". Vedi qui https://www.cis.upenn.edu/~jean/gma-v2-chap5.pdf a pagina 9

Ma allora $P^1(\RR)$ non dovrebbe essere un insieme di rette discontinue nell'origine?

No. Tu stai rappresentando un punto dello spazio proiettivo come il sottospazio generato da un vettore, meno il suo vettore zero. Questo è sbagliato: un punto di \(\mathbb P V\) è il sottospazio tutto intero, e i punti di \(\mathbb P V\) sono tutti i sottospazi, meno quello nullo.

Che cosa si intende con coordinate di$\RR^2$?

Ti sta venendo spiegato un modo di assegnare ai punti di \(\mathbb P V\) delle coordinate (pl¨uckeriane) quando sai assegnare delle coordinate ai vettori di $V$ in termini di una base.

Ora, io ho provato a fare un esempio scegliendo 4 basi casuali, non proporzionali. Non è vero che le matrici di passaggio sono (sempre) proporzionali. Ho sbagliato io a fare i conti o vale solo per basi proporzionali o per basi con determinate caratteristiche?

Cosa hai cercato di fare, e perché? Sicuramente questa cosa viene spiegata dappertutto: il cambio di coordinate proiettive avviene con un automorfismo di $V$, considerato a meno di moltiplicazione per uno scalare non nullo. Vedi qui https://en.wikipedia.org/wiki/Projective_linear_group

[paolo1712]

1) chiaro.

No. Tu stai rappresentando un punto dello spazio proiettivo come il sottospazio generato da un vettore, meno il suo vettore zero. Questo è sbagliato: un punto di \(\mathbb P V\) è il sottospazio tutto intero, e i punti di \(\mathbb P V\) sono tutti i sottospazi, meno quello nullo.

Il motivo per cui ho affermato questo è che, se ho due vettori $v,u \in V-{0}$ se $v~u$ allora esiste $lambda t.c. v=lambda*u$ e necessariamente $lambda!=0$ altrimenti $v=0$ dunque $lambda\in K-{0}$ quindi $[v]=<v>"-"{0}$

3) Le coordinate di $\RR^2$, $(x,\eta)$, sono le coordinate di un generico punto di $\RR^2$?

Cosa hai cercato di fare, e perché?

Volevo verificare che matrici di passaggio associate a basi diverse fossero proporizionali. Nonostante mi sembrasse parecchio strano, ho pensato mi fossi perso qualche dettaglio lungo il percorso.

Sicuramente questa cosa viene spiegata dappertutto: il cambio di coordinate proiettive avviene con un automorfismo di $V$, considerato a meno di moltiplicazione per uno scalare non nullo.

Non mi è stato spiegato in questi termini. Almeno non per ora. Sul capitolo inerente alle trasformazioni proiettive credo ci sia un diagramma simile a quello presente nel link che hai messo.
Ora come ora so che basi proporzionali individuano le stesse coordinate omogenee e viceversa. Quindi ho pensato che basi a due a due proporzionali, generano matrici di passaggio a loro volta proporzionali. Altrimenti non mi spiego perché $C=alpha*A$

[megas_archon]

1) chiaro.

No. Tu stai rappresentando un punto dello spazio proiettivo come il sottospazio generato da un vettore, meno il suo vettore zero. Questo è sbagliato: un punto di \(\mathbb P V\) è il sottospazio tutto intero, e i punti di \(\mathbb P V\) sono tutti i sottospazi, meno quello nullo.

Il motivo per cui ho affermato questo è che, se ho due vettori $v,u \in V-{0}$ se $v~u$ allora esiste $lambda t.c. v=lambda*u$ e necessariamente $lambda!=0$ altrimenti $v=0$ dunque $lambda\in K-{0}$ quindi $[v]=<v>"-"{0}$

No. la classe di equivalenza del vettore nullo è il singoletto fatto dal vettore nullo stesso (perché se \(\lambda v=0\) deve essere per forza una delle due: o \(\lambda=0\), o \(v=0\): gli spazi vettoriali non hanno elementi di torsione); in altre parole, il vuoto proiettivo \(\varnothing\) in \(\mathbb P V\) corrisponde al sottospazio $(0)$.

Questo tra l'altro è coerente col fatto che \(\varnothing\subseteq H\) per ogni sottospazio proiettivo $H$, siccome ogni sottospazio vettoriale che ne è il soprastante deve contenere $(0)$.

[paolo1712]

La definizione che ho di spazio proiettivo è quella di insieme quoziente $P(V)=(V"\"{0})/~$.
Come fai a definire la classe di equivalenza del vettore nullo, se questo non appartiene a $V"\"{0}$ ?
Se due vettori sono non nulli e in relazione, ha senso che il fattore di proporzionalità sia diverso da zero.
Non ti seguo

[megas_archon]

Sì, ho visto, sono io che usavo una definizione diversa, vedi https://www.math.unipd.it/~maurizio/cap/CAP2012.pdf da pagina 5 in poi. Nel tuo caso la classe di equivalenza viene proprio dai vettori non nulli.

[paolo1712]

Il fatto è che si può definire una corrispondenza biunivoca tra P(V) e l'insieme dei sottospazi 1-dimensionali di V. E coerentemente con questa definizione credo abbia anche senso dire che lo spazio proiettivo reale associato a $RR^2$ è l'insieme delle rette passanti per l'origine. Però sulla base di quanto detto prima, $P(V)$ è anche l'insieme delle classi di equivalenza definite da vettori non nulli a scalari non nulli ($[v]=<v>"-"{0}$), allora $P^1(RR)$ dovrebbe essere l'insieme delle rette discontinue in 0. Intendo male?

[megas_archon]

Non intendi male, ma proprio perché solitamente vuoi dare agli spazi proiettivi una struttura di varietà, usi dei modelli un po' diversi che non "l'insieme delle rette discontinue in 0"; per esempio, \(\mathbb{RP}^1\) è omeomorfo a un cerchio, come saprai, e \(\mathbb{CP}^1\) a una sfera (reale). In effetti, tutti gli spazi proiettivi reali sono quozienti di sfere.

Però questo all'inizio è un po' arduo da vedere, e ci si affida a modelli più basati sulla geometria lineare. Ho un po' perso di vista la tua domanda, se era questa:

basi a due a due proporzionali, generano matrici di passaggio a loro volta proporzionali.

penso che si tratti unicamente della seguente banalità: la composizione di matrici [applicazioni lineari], o l'applicazione matrice-vettore [applicazione a vettore] è bilineare, cioè per \(A\in M_{n+1}(K)\), \(v\in V\) (di dimensione n+1) e \(\alpha\in K\), si ha \((\alpha A).v = A.(\alpha v)=\alpha(A.v)\).

[paolo1712]

Però questo all'inizio è un po' arduo da vedere, e ci si affida a modelli più basati sulla geometria lineare.

Allora cercherò temporaneamente di sorvolare.
Ti ringrazio per le risposte