Definizione derivata di Lie

[papàcastoro]

Ciao, ho un problema con un concetto di questa definizione:

Sia X un campo vettoriale su M e $ϕ_t$ il suo flusso. Sia $Y$ un secondo campo vettoriale e $ϕ_t(Y )$ la curva di campi vettoriali determinata applicando il flusso. La derivata di Lie del campo Y nella direzione X `e il campo
vettoriale su M dato da
$L_X Y (p) := − (d/(dt))_(|t=0)ϕ_t(Y )(p)$

Non capisco bene la definizione perché non riesco a capire cosa si intenda per curva di campi vettoriali. Se quello è il flusso, in sostanza $ϕ_t$ è la mia curva integrale e in quanto curva ha un dominio da dove pesco un punto p e mi permette di scrivere $ϕ_t(p)$

Ma se scrivo $ϕ_t(Y )$, essendo Y un campo vettoriale non dovrebbe stare nell'insieme dei campi vettoriali sulla varietà M: $X (M )$? Quindi non capisco cosa mi stia a significafre quella $ϕ_t(Y )$. Vi chiedo un aiuto.

[dissonance]

Non credo sia quella la definizione di \(\phi_t(Y)\). Molto più probabilmente, quando scrivi \(p(t)=\phi_t(Y)(p_0)\) intendi che \(p=p(t)\) è una curva, soluzione del problema di Cauchy \[\dot p= Y_p,\ p(0)=p_0\]

[papàcastoro]

Mi sa che non ho ben capito la tua spiegazione devi perdonarmi.
il prof scrive "Sia Y un secondo campo vettoriale e $ϕ_t(Y)$ la curva di campi vettoriali determinata applicando il flusso".

Tu stai dicendo che p(t) è soluzione del probelma di C. che hai indicato e va bene.
ma non capisco comunque $ϕ_t(Y)(p_0)$ cosa sia per te. NOn ho proprio capito

[Indrjo Dedej]

Non c'è un pullback? Mi sembra che è quello che non stai capendo. Dove stai studiando?

[papàcastoro]

Stavo seguendo le 500 pagine di dispense del Prof. che è il suo libro embrionale che pubblicherà.
Sono in realtà ancora alla ricerca di un secondo testo di riferimento, ho il Do Carmo per la parte più intuitiva.

[papàcastoro]

Uppozzo?

[dissonance]

Senti, non lo so, ma io questa cosa la studiai sul libro di Spivak, "A comprehensive introduction to differential geometry", primo volume. Lo trovi qui:

https://ia601401.us.archive.org/9/items ... org%29.pdf

Pagina 150.

[papàcastoro]

Certo mi bastava anche una fonte, perché per ora non riuscivo a districarmi. Lo guardo!

[Indrjo Dedej]

Uh, mi sono dimenticato. Se \(f : M \to N\) è un morfismo di varietà, abbiamo \(f^\ast : C^\infty N \to C^\infty M\) definita da \(f^\ast (g) = g \circ f\).

Nel tuo caso, se \(X : M \to TM\) è una campo vettoriale sopra una varietà e \(\left\{ \phi_t \mid t \in J \right\}\) un flusso locale di \(X\), allora la definizione di derivata di Lie di un altro campo vettoriale \(Y : M \to TM\) rispetto a \(X\) è \(\mathcal L_X Y (p) = - \left( \frac{\mathrm d}{\mathrm d t} \right)_{t=0} \phi^\ast_t (Y)(p) = - \left( \frac{\mathrm d}{\mathrm d t} \right)_{t=0} (Y \circ \phi_t) (p)\). Quello che hai scritto tu, ma con \(\phi_t^\ast (Y)\) al posto di \(\phi_t (Y)\).

Se vuoi una dispensa, c'è questa: https://mate.unipv.it/~frediani/didatti ... tero-6.pdf.

[papàcastoro]

@Indrjo Dedej: grazie per la risposta e il link, mi inizierò a guardare entrambi passo passo finché arriverò alla derivata di L.

Quindi a complicare le cose c'era quell'errore tipografico, confermo non mio ma del prof che segnalerò appena sarò sicuro di aver capito bene.

Diciamo che però io mi blocco prima sul concetto di

Non capisco bene la definizione perché non riesco a capire cosa si intenda per curva di campi vettoriali. Se quello è il flusso, in sostanza $ϕ_t$ è la mia curva integrale e in quanto curva ha un dominio da dove pesco un punto p e mi permette di scrivere $ϕ_t(p)$

Ma se scrivo $ϕ_t(Y )$, essendo Y un campo vettoriale non dovrebbe stare nell'insieme dei campi vettoriali sulla varietà M: $X (M )$? Quindi non capisco cosa mi stia a significafre quella $ϕ_t(Y )$. Vi chiedo un aiuto.

anche perendeo il pullback prima devo capire $ϕ_t(Y )$ che sinceramente mi sfugge proprio come idea: il prof parla di curva di campi vettoriali determinata applicando il flusso. ma io non mi trovo proprio come senso e non ne parla mai prima, le curve le conosco solo come le ho ditate nel quote qui.