Ciao a tutti, ho appena iniziato il secondo corso di geometria (ossia il primo non di algebra lineare) e il professore ha fatto una divagazione che mi ha molto incuriosito. Essendo nella prima parte del corso non ho i concetti chiari, ma ormai sono cosi curiso che vorrei chiedere riguardo a quello che so per letture personali fatte in passato.
- In particolare il professore ha detto che la sfera non è omeomorfa ad alcun aperto di $RR^2$ e lo riesco a capire perché intuitivamente perché la sfera è un chiuso e un aperto del piano no, quindi non potrò avere un aperto nella controimmagine di un omeomorfismo.
- Inoltre so che la sfera non ha la stessa curvatura del piano, per questo non esiste la "cartina perfetta" della terra su una mappa piana (che era il problema iniziato da gauss)
- So anche (però in modo non molto formale) che la curvatura è preservata dalle isometrie.
E quindi mi chiedo c'è qualche legame sul fatto che non esista un unico omeomorfismo che parametrizza la sfera (ma devo usarne più di uno) per via del fatto che la curvatura non è preservata tra piano e sfera?
(Ovviamente viene facile giustificarlo con il primo dei tre punti ma volevo capire se dipendesse anche dal concettto di curvatura)
Inoltre mi accorgevo che cilindro e piano hanno curvatura identica, e infatti si possono parametrizzare 1:1 con un omeomorfismo unito e anche isometrico.
Ma queste due cose sono vere in generale?
Vorrei quindi per curiosità capire se questi tre concetti sono legati oppure no tra loro: ho curvatura identica per due oggetti <=> ho possibili omeomorfismi unici che legano due oggetti (cioé non solo due o più omeomorfismo possibili, ma può esisterne uno uno unico che lega due figure)<=> sono isometriche le due figure (cioè ho un isometria tra le due)?