Proprietà delle isometrie che fissano un poligono regolare

[Daniele_98]

Data una isometria $\phi$ che fissa un poligono regolare di centro $O$ voglio dimostrare le seguenti affermazioni:
1) $\phi(O)=O$
2) $\phi$ permuta i vertici

Mi è chiaro come le due affermazioni si implichino a vicenda ma vorrei dimostrarne una senza assumere l'altra.
Qualche suggerimento?

[j18eos]

Per come scritto, il punto b è errato!

Le isometrie preservano i lati adiacenti dei poligoni regolari, quindi i vertici non sono liberi di permutare!

[Daniele_98]

Volevo intendere che l’immagine di un vertice tramite l’isometria è ancora un vertice

[j18eos]

Pensa a un quadrato con vertici ordinati \(\displaystyle ABCD\). Ad esempio: il vertice \(\displaystyle A\) resta adiacente ai vertici \(\displaystyle B\) e \(\displaystyle D\) per qualsiasi isometria \(\displaystyle \phi\) che lo preservi.

[Martino]

Armando, quello che Daniele_98 sta dicendo è che l'immagine di un vertice tramite un'isometria che fissa il poligono è ancora un vertice, non che ogni permutazione dei vertici è indotta da un'isometria (che sarebbe falso per il motivo che hai detto).

Siccome le isometrie preservano le distanze, per mostrare (2) si può fare così: caratterizzare i vertici in termini di distanze. Per esempio possiamo pensare al poligono come all'immagine di un'opportuna curva continua $gamma:[0,1] to RR^2$ tale che $gamma(0)=gamma(1)$. Dato $t in [0,1]$ potremmo dire che $gamma(t)$ è un vertice (per definizione) se esistono $t_1,t_2 in [0,1]$ tali che per ogni $a,b$ con $t_1 < a < t < b < t_2$ abbiamo

$d(gamma(a),gamma(b)) ne d(gamma(a),gamma(t))+d(gamma(t),gamma(b))$

dove $d(P,Q)$ indica la distanza tra i punti $P$ e $Q$.

Ora se $f:RR^2 to RR^2$ è un'isometria, allora è continua (le isometrie sono continue) e se fissa il poligono allora questo può essere rappresentato come l'immagine di $f circ gamma$. Ora dei semplici conti mostrano che se $gamma(t)$ è un vertice allora anche $f(gamma(t))$ è un vertice (usando appunto la definizione di vertice data sopra).

[j18eos]

@Martino Per come ho interpretato io la domanda: se \(\displaystyle\phi\) preserva il centro di un poligono regolare e ne permuta i vertici allora \(\displaystyle\phi\) è un'isometria! E come hai ribadito tu: questo è falso!

Sperando di non scrivere male¹, l'affermazione corretta è: un'isometria \(\displaystyle\phi\) del piano affine reale euclideo preserva un poligono regolare se e solo se ne fissa il (bari)centro e ne permuta i vertici.

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Note

1. Incrociamo le dita! ↑