da Martino » 23/05/2024, 17:22
Armando, quello che Daniele_98 sta dicendo è che l'immagine di un vertice tramite un'isometria che fissa il poligono è ancora un vertice, non che ogni permutazione dei vertici è indotta da un'isometria (che sarebbe falso per il motivo che hai detto).
Siccome le isometrie preservano le distanze, per mostrare (2) si può fare così: caratterizzare i vertici in termini di distanze. Per esempio possiamo pensare al poligono come all'immagine di un'opportuna curva continua $gamma:[0,1] to RR^2$ tale che $gamma(0)=gamma(1)$. Dato $t in [0,1]$ potremmo dire che $gamma(t)$ è un vertice (per definizione) se esistono $t_1,t_2 in [0,1]$ tali che per ogni $a,b$ con $t_1 < a < t < b < t_2$ abbiamo
$d(gamma(a),gamma(b)) ne d(gamma(a),gamma(t))+d(gamma(t),gamma(b))$
dove $d(P,Q)$ indica la distanza tra i punti $P$ e $Q$.
Ora se $f:RR^2 to RR^2$ è un'isometria, allora è continua (le isometrie sono continue) e se fissa il poligono allora questo può essere rappresentato come l'immagine di $f circ gamma$. Ora dei semplici conti mostrano che se $gamma(t)$ è un vertice allora anche $f(gamma(t))$ è un vertice (usando appunto la definizione di vertice data sopra).
Le persone che le persone che le persone amano amano amano.