Definizioni prodotti tensoriali

[DavideGenova]

Sto cercando più materiale possibile sull'argomento, ma, più leggo, più mi confondo le idee. Il Sernesi chiama $r$-tensore ogni applicazione multilineare $V^r\to K$. Tali applicazioni costituiscono uno spazio vettoriale chiamato \(\mathcal{T}^r(V^{\breve{}})\), sicché, definendo somma e moltiplicazione per uno scalare per ogni \(F,G\in\mathcal{T}^r(V^{\breve{}})\) e $a,b\in K$ come \(aF+bG:(\mathbf{v}_1,...,\mathbf{v}_r)\mapsto aF(\mathbf{v}_1,...\mathbf{v}_r)+bG(\mathbf{v}_1,...,\mathbf{v}_r)\), si ottiene un altra applicazione multilineare $V^r\to K$, cioè un altro $r$-tensore secondo tale definizione. Ora, so che non ogni somma di tensori (secondo la definizione, la seconda del post originale, basata sull'esistenza ed unicità di \(\varphi:\Phi=\varphi\circ\tau\)) appartenenti ad un prodotto tensoriale, che è anche un $K$-modulo, è necessariamente un tensore.
Nel caso particolare degli $r$-tensori di \(\mathcal{T}^r(V^{\breve{}})\), invece, tale proprietà mi sembra valere. Ciò non è ovviamente una contraddizione, ma mi sembra sospetto e forse indice che, in questa faccenda, non stia capendo niente.
D'altra parte so che l'utilizzo dei tensori è onnipresente in fisica e mi stupisco di quanto mi risulti difficile cercando in rete e su testi stampati e digitali vari un'illustrazione esplicita del fatto che un $r$-tensore/applicazione multilineare \(F\in\mathcal{T}^r(V^{\breve{}})\), è anche un tensore in quanto immagine di un'applicazione \(\tau:M\times N\to\mathcal{T}^r(V^{\breve{}})\) per opportuni $K$-moduli $M$ e $N$, cioè del fatto che la definizione usata in algebra multilineare è un caso particolare della definizione secondo la proprietà universale...

[DavideGenova]

Ho trovato un documento piuttosto chiaro qui. Le argomentazioni di questo documento che si riferiscono a prodotti di due spazi vettoriali e applicazioni $K$-bilineari mi sembrano del tutto valide per prodotti di un numero finito $r$ arbitrario di spazi vettoriali $V_i$ e applicazioni $K$-multilineari. Naturalmente se per ogni indice $V_i=V_j$ lo spazio \(\text{Mult}(\prod_{i=1}^r V_i,K)\) è quello chiamato \(\mathcal{T}^r(V^{\breve{}})\) nel post originale.
Quindi, dall'esercizio 1.3, direi che, chiamando \(L_i\in V_i^{\breve{}}\) un generico funzionale lineare $V_i\to K$, si possa definire l'isomorfismo \[\phi: V_1^{\breve{}}\otimes_K ...\otimes_K V_r^{\breve{}}\xrightarrow{\sim}\text{Mult}(\prod_{i=1}^r V_i,K),\quad \phi(L_1\otimes...\otimes L_r) (\mathbf{v}_1,...,\mathbf{v}_r)=L_1(\mathbf{v}_1)...L_r(\mathbf{v}_r)\]Se quindi le applicazioni multilineari contenute in \(\text{Mult}(\prod_{i=1}^r V_i,K)\) sono tensori nel senso degli elementi che definiscono il prodotto tensoriale dotato della proprietà universale descritta nel post originale, direi che questo \(\phi\) debba essere l'unico isomorfismo che lega \(V_1^{\breve{}}\otimes_K ...\otimes_K V_r^{\breve{}}\) e \(\text{Mult}(\prod_{i=1}^r V_i,K)\), giusto?
Ora, osservo che, chiamato \(\psi:V_1^{\breve{}}\otimes_K ...\otimes_K V_r^{\breve{}}\xrightarrow{\sim}(V_1\otimes_K ...\otimes_K V_r)^{\breve{}}\) l'isomorfismo analogo a quello omonimo dell'es. 1.3, ad ogni funzionale lineare \(V_1\otimes_K ...\otimes_K V_r\to K\) corrisponde proprio per la proprietà universale del prodotto tensoriale una ed una sola applicazione $K$-multilineare \(\prod_{i=1}^r V_i\to K\), quindi l'isomorfismo \(\psi\circ\phi^{-1}:\text{Mult}(\prod_{i=1}^r V_i,K)\xrightarrow{\sim}(V_1\otimes_K ...\otimes_K V_r)^{\breve{}} \) è unico.
A questo punto direi che, se esiste un altro isomorfismo \(\phi':V_1^{\breve{}}\otimes_K ...\otimes_K V_r^{\breve{}}\xrightarrow{\sim}\text{Mult}(\prod_{i=1}^r V_i,K)\), si debba avere \(\phi\circ\psi^{-1}=\phi'\circ\psi^{-1}\) e quindi \(\phi=\phi'\). O sbaglio?

Inoltre credo di aver compreso la mia perplessità circa il fatto che non ogni combinazione lineare di tensori è un tensore: alcuni autori, tra cui il Sernesi, chiamano effettivamente tensore ogni combinazione lineare di tensori, ogni elemento appartenente ad un prodotto tensoriale, mentre altri, come il Bosch, chiamano tensori quelli che i primi chiamano tensori decomponibili.
$\infty$ grazie e buone feste a tutti!!!

[killing_buddha]

Quello che tu vuoi fare quando definisci il prodotto tensoriale di due spazi vettoriali è, essenzialmente, cerca un oggetto che faccia da rappresentante a un funtore. Questo funtore, fissati due spazi $V,W$, è quello che manda uno spazio vettoriale $U$ (tutti e tre sullo stesso campo $k$; in effetti il grado massimo e indolore di generalità a cui spostarsi è quello in cui $U,V,W$ sono moduli su un anello, unitario ma non necessariamente commutativo: si può generalizzare ancora, ma diventa doloroso).

Cosa vuol dire rappresentare un funtore? Che tu hai una corrispondenza che manda $U$ in \(\text{Mult}(V\times W,U)\), la quale è compatibile (nel senso di tutti i funtori) con la presenza di applicazioni $k$-lineari \(U\to U'\). Vorresti ora "approssimare nel modo migliore possibile" la suddetta operazione vedendola come il considerare mappe da un opportuno spazio $T$ (il prodotto tensoriale, che "approssima con una funzione lineare, nel modo miglliore possibile, una applicazione multilineare") verso il tuo $U$.Vuoi in pratica che
\[
\text{Mult}(V\times W,U)\cong \hom_k(T,U)
\]
in un modo che "non dipenda dalle coordinate" (quello che si dice, cioè, un isomorfismo canonico: uguale in ogni base perché definito da una corrispondenza coordinate-free). Cominci a riconoscere qualcosa di simile a quello che affermi tu? Capisci anche bene che farlo per due spazi implica subito come farlo per un numero arbitrario di spazi (sotto questa affermazione c'è in realtà un po' di lavoro che ti permette di giustificare l'affermazione in modo rigoroso, vedi la nota sotto[1]).

Non è stupefacente che questo linguaggio non abbia mai percolato fuori dalla scuola di geometria differenziale francese (i due Cartan, soprattutto); stupisce anche me il livello di astrusità che raggiungono certe esposizioni reperibili sui vecchi testi di geometria in italiano e su praticamente qualsiasi testo in inglese: le notazioni non sono mai comuni ai vari autori; l'ordine di esposizione dei concetti nemmeno, certi risultati che a volte sono definizioni da un'altra parte diventano corollari. E' spiacevole, soprattutto dopo che hai "attraversato il fiume", vedere che c'è ancora chi ha dei problemi a definire $V\otimes_k W$ come un quoziente rispetto a una certa relazione di equivalenza, o a trattarlo come un oggetto universale.



[1] Quello che devi dimostrare è che "il prodotto tensoriale è associativo": Supponi di aver trovato un rappresentante $T$ per $\text{Mult}(V\times (W\times Z),U)$ e un rappresentante $T'$ per $\text{Mult}((V\times W)\times Z,U)$; d'altra parte è evidente che il prodotto cartesiano di spazi vettoriali sia una operazione associativa a meno di un isomorfismo fin troppo canonico per essere riconosciuto diverso dall'identità: e allora hai che
\[
\hom(T,U)\cong \text{Mult}(V\times (W\times Z),U)\cong \text{Mult}((V\times W)\times Z,U)\cong \hom(T',U)
\]
per ogni $k$-spazio vettoriale $U$; d'altra parte adesso è vero per $U=T$, e l'identità di $T$ deve andare, lungo quella catena di isomorfismi, in un isomorfismo $T\to T'$ (ti invito a provarlo). Fine: i due spazi sono isomorfi in un solo modo.

[DavideGenova]

\[
\text{Mult}(V\times W,U)\cong \hom_k(T,U)
\]
in un modo che "non dipenda dalle coordinate" (quello che si dice, cioè, un isomorfismo canonico: uguale in ogni base perché definito da una corrispondenza coordinate-free). Cominci a riconoscere qualcosa di simile a quello che affermi tu?

Direi di sì, e questo credo di non sbagliare a sentirmi sicuro che è l'isomorfismo indotto dalla corrispondenza biunivoca, dovuta alla proprietà universare del prodotto tensoriale, tra applicazioni multilineari $M\times N\to U$ e $R$-lineari \(M\otimes_R N\to U\), che è un omomorfismo di moduli con somma e moltiplicazione per scalari definite nei due insiemi dalla somma e dalla moltiplicazione per un elemento di $R$ delle immagini delle applicazioni nel codominio $U$.

\[
\hom(T,U)\cong \text{Mult}(V\times (W\times Z),U)\cong \text{Mult}((V\times W)\times Z,U)\cong \hom(T',U)
\]per ogni $k$-spazio vettoriale $U$; d'altra parte adesso è vero per $U=T$, e l'identità di $T$ deve andare, lungo quella catena di isomorfismi, in un isomorfismo $T\to T'$ (ti invito a provarlo). Fine: i due spazi sono isomorfi in un solo modo.

Già. Non ne scrivo una prova qui perché "barerei" visto che la conosco già da un po' di giorni da qui.
$\infty$ grazie e tanti auguri!!!