Topologia prodotto: passaggio oscuro sul Sernesi

[Paolo90]

Ancora una cosa sulla topologia prodotto, che mi è venuta in mente ma a cui non so rispondere da solo.

Una base della topologia prodotto $X_1 times X_2$ è data dal prodotto di tutti gli aperti di $X_1$ per tutti gli aperti di $X_2$. Poi c'è un bel teorema che dice che una base della topologia prodotto è data dal prodotto di due basi di $X_1$ e di $X_2$. In definitiva, se $A subset X_1$ e $B subset X_2$, allora $A times B$ è aperto se e solo se $A$ e $B$ sono entrambi aperti.

Una direzione è banale, per l'altra basta osservare che se $A times B$ è aperto allora è unione di prodotti di aperti: $A times B = uuu (A_i times B_i) = (uuu A_i) times (uuu B_i)$, da cui trovo che $A$ è unione di aperti di $X$ e quindi aperto e $B$ è unione di aperti di $X_2$ e quindi aperto.

Ora però mi domando se sia vero che: $\bar (A times B) = barA times barB$.

Mi date un'idea di come provarlo/confutarlo, per piacere? Secondo me è vero, ma è solo un'impressione...
Grazie ancora.

[mistake89]

Sì ciò è vero. E vale anche per l'interno!

Faccio quella per la chiusura.
Sia $(x_0,y_0) in \bar( X \times Y)$.
Sia $U_1 in I(x_0), S_2 in I(y_0)$ e quindi segue che $U_1 \times S_2 in I(x_0,y_0)$
$(U_1 \times S_2) nn (X \times Y) ne \emptyset$ perchè $(x_0,y_0)in \bar(X \times Y)$
$(X nn S_1) \times (Y nn S_2) ne \emptyset rArr X nn U_1 ne \emptyset$. Quindi $x_0 in \bar(X)$
Analogamente per $y_0$

D'altra parte sia $(x_0,y_0) in \bar(X) \times \bar(Y)$
Sia $U in I(x_0,y_0) rArr EE U_1 in I(x_0), U_2 in I(y_0) t.c. U_1 \times U_2 sub U$
$U_1 in I(x_0) rArr U_1 nn X ne \emptyset$ perchè $x_0 in \bar (X)$
$U_2 in I(y_0) rArr U_2 nn X ne \emptyset$ perchè $y_0 in \bar(Y)$
Allora $(U_1 nn X) \times (U_2 nn Y) ne \emptyset rArr \emptyset ne (U_1 \times U_2) nn (X \times Y) sub U nn (X\timesY)$ che pertanto è non vuota.
Pertanto $(x_0,y_0) in \bar(X\timesY)$

[Paolo90]

Grazie per la risposta, mistake. Ora leggo e imparo.

Grazie

[Martino]

Naturalmente, l'esempio cardine che mi porterò dietro è quello di $RR$: una sottobase è data dagli intervalli aperti illlimitati, $(a,+oo)$: infatti, posso realizzare ogni aperto di $RR$ come intersezione finita o unione di questi intervalli.

Eh no. Quella che dici non e' una sottobase per la topologia usuale (e' una sottobase per un'altra topologia). Scusa forse non sono stato troppo chiaro. Una sottobase per la topologia usuale di \( \displaystyle \mathbb{R} \) e' la seguente:

\( \displaystyle \{ ]a,+\infty[\ |\ a \in \mathbb{R} \} \cup \{ ]-\infty,b[\ |\ b \in \mathbb{R} \} \) .

Osserva che anche questa e' una sottobase (ed e' utile osservare che la corrispondente base e' numerabile):

\( \displaystyle \{ ]a,+\infty[\ |\ a \in \mathbb{Q} \} \cup \{ ]-\infty,b[\ |\ b \in \mathbb{Q} \} \) .

Poi volevo dire una cosa su quello che diceva dissonance, cioe' che le sottobasi sono spaventosamente utili quando si trattano i prodotti arbitrari. Come ti ho gia' detto, si dimostra che puoi testare la compattezza su un ricoprimento aperto che consiste di aperti presi in una fissata sottobase (Alexander subbase theorem: vedi qui). Per farti un esempio, questo risultato implica immediatamente il teorema di Tychonoff (!!): prendi un prodotto \( \displaystyle X = \prod_{i \in I} X_i \) in cui ogni \( \displaystyle X_i \) e' compatto. Dobbiamo mostrare che \( \displaystyle X \) e' compatto. Supponiamo per assurdo che non lo sia. Prendiamo un ricoprimento aperto \( \displaystyle \mathcal{U} \) che consiste di aperti del tipo \( \displaystyle \pi_i^{-1}(U_i) \) con \( \displaystyle i \in I \) e \( \displaystyle U_i \) aperto in \( \displaystyle X_i \) , e ammettiamo che \( \displaystyle \mathcal{U} \) non ammetta sottoricoprimenti finiti. Per ogni \( \displaystyle i \in I \) definiamo \( \displaystyle \mathcal{U}_i := \{U_i\ |\ \pi_i^{-1}(U_i) \in \mathcal{U} \} \) . Prendiamo ora \( \displaystyle x_i \in X_i \) che non appartiene a nessun \( \displaystyle U_i \in \mathcal{U}_i \) (tale \( \displaystyle x_i \) esiste perche' se \( \displaystyle \mathcal{U}_i \) ricoprisse \( \displaystyle X_i \) allora potremmo estrarne un sottoricoprimento finito ed esso corrisponderebbe - prendendo le controimmagini tramite \( \displaystyle \pi_i \) - ad un sottoricoprimento finito di \( \displaystyle X \) ). Allora \( \displaystyle x := (x_i)_{i \in I} \) non e' coperto da \( \displaystyle \mathcal{U} \) , assurdo.

PS. dissonance, eccellente il parallelismo con gli spazi vettoriali!

NB: attenzione, ho editato.

[Martino]

Solo per dire che ho modificato l'intervento precedente.

[dissonance]

@Martino: Cavolo! Il teorema di Tychonoff in due righe. Non lo conoscevo proprio questo teorema della sottobase di Alexander, né, a leggerne distrattamente l'enunciato, avevo sospettato che fosse così profondo.

Un'altra applicazione citata su Wikipedia è una dimostrazione semplicissima del fatto che ogni intervallo $[a, b]$ è compatto (teorema di Bolzano-Weierstrass). Ed è effettivamente un giochino: abbiamo visto che una sottobase di $RR$ è la famiglia $S$ delle semirette aperte, quindi prendiamo un ricoprimento di $[a, b]$ costituito da elementi di $S$, diciamo $ccU={(-infty, \alpha_j), (beta_k, infty)\ :\ j \in J, k \in K\}$. Per costruzione $a<alpha_j, beta_k<b$ per ogni $j, k$. Inoltre devono esistere un $j_0$ e un $k_0$ tali che $alpha_{j_0}>beta_{k_0}$: in caso contrario le classi ${alpha_j}_j, {beta_k}_k$ sarebbero separate, contraddicendo l'essere $ccU$ un ricoprimento. La famiglia ${(-infty, alpha_{j_0}), (beta_{k_0}, infty)}$ è un sottoricoprimento finito di $[a, b]$ estratto da $ccU$.

Bello!

P.S.: Sono molto contento che vi sia piaciuto il post precedente! Il fatto è che a suo tempo mi sono chiesto a lungo: "ma perché si dice base di una topologia? c'entrerà qualcosa con le basi degli spazi vettoriali?" e, pensa che ti ripensa, me ne sono uscito con questa trovata.

[Paolo90]

Naturalmente, l'esempio cardine che mi porterò dietro è quello di $RR$: una sottobase è data dagli intervalli aperti illlimitati, $(a,+oo)$: infatti, posso realizzare ogni aperto di $RR$ come intersezione finita o unione di questi intervalli.

Eh no. Quella che dici non e' una sottobase per la topologia usuale (e' una sottobase per un'altra topologia). Scusa forse non sono stato troppo chiaro. Una sottobase per la topologia usuale di \( \displaystyle \mathbb{R} \) e' la seguente:

\( \displaystyle \{ ]a,+\infty[\ |\ a \in \mathbb{R} \} \cup \{ ]-\infty,b[\ |\ b \in \mathbb{R} \} \) .

Uffa, uffa, uffa e ancora uffa. Dicono che la notte porti consiglio, ma mi sa che la notte ha portato casino nella mia testa
Ricomincio ancora una volta da capo, perchè ho di nuovo le idee confuse.
Allora, diciamo che $ccS$ è una sottobase per una topologia $ccT$ su $X$ se la famiglia data delle intersezioni finite di elementi di $ccS$ è una base di $ccT$.

In altro modo, diciamo che $ccS$ è una sottobase per una topologia $ccT$ su $X$ se la famiglia data dalle unioni delle intersezioni finite di elementi di $ccS$ coincide con $ccT$.

Ok fino a qui?

Ora prendiamo la famiglia $ccS={(a,+oo), a in RR}$ e cerchiamo di determinare la (unica) topologia $ccT$ che ammette $ccS$ come sottobase. Se quanto ho affermato sopra è corretto, allora una base di $ccT$ è data dalle intersezioni finite, cioè da elementi del tipo $(a_1,+oo) nn (a_2,+oo) nn ... nn (a_n,+oo) = (M,+oo)$ dove $M=max_{1<=i<=n} (a_i)$. Quindi una base di $ccT$ è la famiglia $ccB = {(a,+oo), a in RR}$. Ora osservo che in questo caso $ccS=ccB$, cioè la nostra sottobase è anche una base. $ccB$ è sicuramente una base perchè ricopre $RR$ e perchè l'intersezione di due suoi elementi è ancora un suo elemento (diciamo che è una base con una condizione ancora più forte: l'intersezione di due aperti di base non è solo unione di aperti di base, ma è ancora aperto di base).

Quindi, la nostra $ccT$ ammette come base $ccB = {(a,+oo), a in RR}$. Vediamo di dire qualche cosa su questa $ccT$. Anzitutto è una topologia (strettamente) meno fine della standard, $ccT subset T_"standard"$, dal momento che ogni aperto di $ccT$ è anche aperto per la topologia euclidea, ma non viceversa. Per il resto, non mi sembra una topologia molto interessante: è Hausdorff? No, perchè ad esempio $2 != 5$ ma non ci sono aperti disgiunti che mi permettono di separarli.

Ora, prendiamo come sottobase la famiglia \( \displaystyle \mathcal{S} =\{ ]a,+\infty[\ |\ a \in \mathbb{Q} \} \cup \{ ]-\infty,b[\ |\ b \in \mathbb{Q} \} \) . Voglio la base, ci aggiungo tutte le intersezioni finite: se interseco un numero finito di elementi di $\mathcal{S}$ trovo o il vuoto, o tutto $RR$ o intervalli del tipo $(a,b)$. La base della topologia è perciò data da ${(a,b), " " a,b, in RR}$ che è la base della topologia euclidea.

Uh, scusate la tiritera ma sento le idee come tanti post-it gialli nella mia mente che svolazzano qui e là e vorrei mettere ordine una volta per tutte.
Se è giusto fin qui, mi leggo con calma la parte su Alexander/compattezza/Tychonoff di cui parlavate.


P.S: Grazie mille, ad entrambi.

[dissonance]

OK Paolo, è corretto. Per il momento lascia perdere la parte Alexander/compattezza/Tychonoff, prima prendi confidenza con la topologia prodotto perché è una costruzione che ti ritroverai davanti per il resto dei tuoi giorni (suona un po' lugubre, ma è efficace ).

Prendi due spazi topologici $X, Y$. La prima cosa che viene in mente per definire una topologia sul prodotto cartesiano $X \times Y$ è richiedere che siano aperti i rettangoli aperti, gli insiemi $U times V$ dove $U, V$ sono aperti in $X$ e $Y$ rispettivamente. Risulta che questa famiglia ha le carte in regola per essere base di una topologia, perché l'intersezione di due rettangoli aperti è ancora un rettangolo aperto: chiameremo questa topologia topologia dei rettangoli aperti (box topology).

In realtà procedere così non è la maniera più razionale. Quello che vogliamo davvero non è tanto che i rettangoli aperti siano aperti, quanto che le applicazioni naturali che vengono a crearsi quando si costruisce il prodotto siano applicazioni continue. Queste applicazioni sono le proiezioni di $X \times Y$ su $X$ e su $Y$ rispettivamente, e affinché siano continue occorre e basta che gli insiemi $P_X^{-1}(U), P_Y^{-1}(V)$ siano aperti in $X\times Y$ per ogni $U, V$ aperti in $X, Y$ rispettivamente. Chiamiamo $S$ la famiglia di questi insiemi ($S$ come "striscia", fatti un disegnino nel caso $X=Y=RR, U=(a, b), V=(c, d)$). Osserviamo che $S$ non ha le carte in regola per essere base, ma può essere sottobase di un'unica topologia che chiameremo topologia prodotto.

Risulta che le due topologie così costruite coincidono, ma la costruzione che c'è dietro è profondamente diversa e - se nel programma del tuo corso ci sono i prodotti infiniti - queste differenze emergeranno in futuro.

Una cosa importante che vorrei sottolineare è che la topologia prodotto così costruita è fatta in modo tale da essere la meno fine tra tutte le topologie che rendono continue le proiezioni $P_X, P_Y$. Questo è evidente dalla costruzione: abbiamo richiesto che siano aperte le controimmagini $P_X^{-1}(U), P_Y^{-1}(V)$ e neanche un insieme in più. Qui c'è la radice di una delle proprietà più importanti della topologia prodotto: la proprietà universale.

[Paolo90]

OK Paolo, è corretto.

Oh, fantastico, GRAZIE.

Per il momento lascia perdere la parte Alexander/compattezza/Tychonoff, prima prendi confidenza con la topologia prodotto perché è una costruzione che ti ritroverai davanti per il resto dei tuoi giorni (suona un po' lugubre, ma è efficace ).

Sai, dissonance, ti devo confessare che questa topologia prodotto mi stava proprio un po' antipatica . Le altre due che abbiamo studiate (topologia indotta e ovviamente topologia quoziente) le ho capite e mi piacciono anche parecchio, non so perchè quella prodotto non me gusta più di tanto.

Prendi due spazi topologici $X, Y$. La prima cosa che viene in mente per definire una topologia sul prodotto cartesiano $X \times Y$ è richiedere che siano aperti i rettangoli aperti, gli insiemi $U times V$ dove $U, V$ sono aperti in $X$ e $Y$ rispettivamente. Risulta che questa famiglia ha le carte in regola per essere base di una topologia, perché l'intersezione di due rettangoli aperti è ancora un rettangolo aperto: chiameremo questa topologia topologia dei rettangoli aperti (box topology).

In realtà procedere così non è la maniera più razionale. Quello che vogliamo davvero non è tanto che i rettangoli aperti siano aperti, quanto che le applicazioni naturali che vengono a crearsi quando si costruisce il prodotto siano applicazioni continue. Queste applicazioni sono le proiezioni di $X \times Y$ su $X$ e su $Y$ rispettivamente, e affinché siano continue occorre e basta che gli insiemi $P_X^{-1}(U), P_Y^{-1}(V)$ siano aperti in $X\times Y$ per ogni $U, V$ aperti in $X, Y$ rispettivamente. Chiamiamo $S$ la famiglia di questi insiemi ($S$ come "striscia", fatti un disegnino nel caso $X=Y=RR, U=(a, b), V=(c, d)$). Osserviamo che $S$ non ha le carte in regola per essere base, ma può essere sottobase di un'unica topologia che chiameremo topologia prodotto.

Ahah, sì. E questo è esattamente quello che fa il Munkres. Questa $S$ non è una base perchè (come diceva già Martino un po' di post fa) non posso scrivere l'intersezione di due suoi elementi $P_X^{-1}(U) nn P_Y^{-1}(V)$ come unione di altri elementi.

Tuttavia, $S$ è una sottobase, perchè se ci aggiungo le intersezioni finite ottengo proprio i rettangoli aperti che sono una base della topologia prodotto.

Una cosa importante che vorrei sottolineare è che la topologia prodotto così costruita è fatta in modo tale da essere la meno fine tra tutte le topologie che rendono continue le proiezioni $P_X, P_Y$. Questo è evidente dalla costruzione: abbiamo richiesto che siano aperte le controimmagini $P_X^{-1}(U), P_Y^{-1}(V)$ e neanche un insieme in più.

Sì, certo, ora il teorema iniziale è un giochetto: ovviamente la topologia prodotto è la meno fine per cui le proiezioni sono continue proprio per costruzione.

Qui c'è la radice di una delle proprietà più importanti della topologia prodotto: la proprietà universale.

Sì, la conosco (e, aggiungo, mi piacerebbe capire perchè si chiama universale). L'ho solo sentita enunciare, ma mai dimostrata.

Proprietà universale del prodotto. Siano $X,Y,Z$ spazi topologici e supponiamo che su $X times Y$ ci sia la topologia prodotto. Allora una funzione $f: Z to X times Y$ è continua se e soltanto se, indicate con $p_i$ le proiezioni, le due funzioni $f_x: Z to X$ ($f_x=p_x circ f$) e $f_y: Z to Y$ ($f_y = p_y circ f$) sono continue.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Dimostrazione. In una direzione mi pare semplice: sia $f$ è continua. Su $X times Y$ abbiamo la topologia prodotto, quindi le proiezioni sono continue. Allora anche $f_x$ e $f_y$ risultano continue perchè composizione di funzioni continue.

Viceversa, supponiamo $f_x$ e $f_y$ continue. Prendiamo un aperto $U$ di $X times Y$: per definizione di topologia prodotto, esso sarà della forma $U = uuu A_i times B_i$ dove $A_i$ e $B_i$ sono aperti in $X$ e $Y$. Vogliamo mostrare che la controimmagine di $U$ mediante $f$ è aperta in $Z$.
$f^(-1)(U) = f^-1(uuu A_i times B_i) = uuu f^-1(A_i times B_i)$.
Ora, so che $A_i$ sono aperti di $X$, quindi $f_x^-1(A_i)$ sono aperti di $Z$: ma $f_x^-1(A_i)=(p_x circ f)^-1(A_i)=f^-1(p_x^-1(A_i))=f^-1(A_i times Y)$ che quindi risultano aperti di $Z$. Analogamente trovo che anche gli $f^-1(X times B_i)$ sono aperti di $Z$, ma....

come si chiude il cerchio? Mi sono perso qualcosa per strada?

GRAZIE

[Martino]

Paolo, la famiglia di cui parli,

\( \displaystyle \{ ]a,+\infty[\ |\ a \in \mathbb{R} \} \) ,

non solo e' sottobase di una topologia, non solo ne e' base, ma se aggiungi \( \displaystyle \emptyset \) e \( \displaystyle \mathbb{R} \) coincide con la topologia che genera. Osserva che l'ordine di inclusione in essa e' totale! E ovviamente se l'ordine di inclusione rende una topologia un insieme totalmente ordinato allora tale topologia non puo' essere di Hausdorff (e in realta' ha altre proprieta' "patologiche", per esempio e' irriducibile - cioe' ogni aperto non vuoto e' denso - e potresti domandarti quali altre conseguenze ottieni).

Sul fatto di prendere confidenza con i prodotti, la mia posizione e' diversa da quella di dissonance. Io ti consiglio di affrontare una "terapia d'urto", cercare di capire cose ben piu' difficili di quelle di cui hai bisogno. Insomma, alle cose che vuoi capire secondo me ci devi arrivare da sopra (dopo aver tentato di capire cose piu' difficili) e non da sotto (non credo che uno scopo si possa raggiungere, tutt'al piu' lo si puo' distanziare arbitrariamente poco). Quindi ti consiglio di guardarti Alexander/Tychonoff