Un problema di minimo

[karl]

Si vuole dimostrare <b><u>senza l'uso di derivate</u></b>
che in un qualsiasi triangolo la somma dei quadrati
delle distanze dai tre vertici di un punto (interno)
al triangolo e' minima quando il punto coincide col
baricentro del triangolo.
karl.



Modificato da - karl il 28/12/2003 22:09:30

[MaMo]

Chiamiamo A,B e C i vertici del triangolo, P il punto interno, G il baricentro del triangolo ed M il punto medio del lato AB.
Indichiamo con a, b, c, i lati del triangolo opposti ai vertici A, B, C, con m la mediana relativa al lato c (CM) e con d il segmento PG cioè la distanza fra il punto interno e il baricentro.
Applicando il teorema della mediana al triangolo APB si ha:
PA^2 + PB^2 = c^2/2 + 2PM^2
Applichiamo ora il teorema di Stewart al triangolo PCM.
Essendo CG = 2m/3 e GM = m/3 si ottiene:
PC^2*(m/3) + PM^2*(2m/3) = m*[d^2 + (2m/3)*(m/3)]
Semplificando per m si ha:
PC^2 + 2PM^2 = 3d^2 + 2m^2/3
Sommando le due precedenti relazioni si trova:
PA^2 + PB^2 + PC^2= c^2/2 + 3d^2 + 2m^2/3
Per il teorema della mediana però si ha:
m^2 = (2a^2 + 2b^2 - c^2)/4
Inserendo questo risultato nella relazione precedente si ottiene.
PA^2 + PB^2 + PC^2 = (a^2 + b^2 + c^2)/3 + 3d^2
Questa relazione dimostra che la somma dei quadrati delle distanze del punto P dai vertici del triangolo è minima per d = 0 cioè quando il punto P coincide con il baricentro del triangolo.

[karl]

Grazie per avermi ricordato il teorema di Stewart
ormai confinato in un remotissimo angolo della mia
memoria.
Ecco la mia soluzione(con riferimento alla tua figura):
siano A',B',C' le proiezioni ortogonali di A,B,C
sulla retta PG.Possiamo considerare le misure
dei segmenti orientati GA',GB',GC' come le ascisse
xA,xB,xC di A,B,C in un riferimento cartesiano
ortogonale di origine G ed asse x la retta PG
orientata in uno dei due modi possibili.
Applicando il teorema di Pitagora generalizzato
ai triangoli PGA,PGB,PGC abbiamo:
PA^2=PG^2+AG^2-2*PG*xA
PB^2=PG^2+BG^2-2*PG*xB
PC^2=PG^2+CG^2-2*PG*xC
(nel calcolo ho tenuto conto dei segni di xA,xB,xC)
e sommando:
PA^2+PB^2+PC^2=3*PG^2+(AG^2+BG^2+CG^2)-2*PG*(xA+xB+xC)
ma xA+xB+xC=3*xG=0 perche' G e' l'origine e dunque:
PA^2+PB^2+PC^2=3*PG^2+(AG^2+BG^2+CG^2).
Da qui si conclude,come hai fatto tu,che il minimo
si raggiunge per PG=0 ovvero quando P coincide con G.
karl.