ESERCIZIO DI GEOMETRIA

[folgore]

Ragazzi ho avuto difficoltà a svolgere questo esercizio qualcuno può darmi una mano??

Si considerino le rette r: x+y+z=x+y+2z+1=0 ed s:(x,y,z)=(0,1,-1)+t(1,1,3);

i)determinare la posizione reciproca delle rette r ed s;
ii)rappresentare il piano per P(-1,2,1) parallelo ad r e ad s;

Che si intende per posizione reciproca???

Grazie anticipatamente a chi mi risponderà...!!!

[fireball]

i) La retta r si può parametrizzare così:
${(x=t),(y=1-t),(z=-1):}
ovvero r è la retta di equazioni parametriche:
$(x,y,z)=(0,1,-1)+t(1,-1,0)
Allora, per vedere la posizione reciproca,
intanto osserviamo che passano entrambe
per lo stesso punto, cioè $(0,1,-1)$, e poi sono
anche perpendicolari, in quanto lo sono
i loro vettori direzionali. Infatti, il prodotto
scalare tra i vettori direzionali delle due rette è
nullo, e questo significa che i due vettori
sono ortogonali, ovvero le due rette sono ortogonali.

[fireball]

ii) Il piano parallelo alle due rette e passante per P
è quello parallelo ai vettori direzionali delle due
rette e passante per P. Le sue equazioni parametriche sono allora:
${(x= -1+s+v),(y=2+s-v),(z=1+3s):}
ed eliminando i due parametri $s$ e $v$ si ottiene l'eq. cartesiana:
$3x+3y-2z-1=0$.

[Alexp]

Scusa, ma l'equazione del piano mi sembra errata...dovrebbe risultare: $3x+3y-2z-5=0$.

Ciao
Alexp

[fireball]

Avrò fatto errori di calcolo... Quel che però
conta è che le equazioni parametriche del piano siano corrette.

[Alexp]

Hai dimenticato il segno "-" nella parametrizzazione di z......z=-1+3s

[fireball]

Ma no... Il punto per cui il piano deve passare
è $P=(-1,2,1)$, quindi è giusto...

[Alexp]

Ah...scusa pensavo che il punto fosse (0,1,-1)

[fireball]

No, quello è il punto per cui passano entrambe le rette r ed s...

[Alexp]

scusa una cosa.....come le ricavi le formule parametriche?