rango e determinante con matrici parametriche

[giupar93]

Salve a tutti ragazzi, sicuramente ci sarà un domanda simile alla mia ma non l'ho trovata oppure perché sono talmente confuso che qualsiasi soluzione non la capisco. Io ho un semplice problema. Non riesco a calcolare il rango e il determinante di una matrice parametrica, poiché non so i casi che devo considerare e in base a cosa devo considerarli. Spero che qualcuno mi illumini e mi schiarisca veramente le idee confuse. Grazie mille a tutti!

[minomic]

Ciao,
di solito l'approccio è piuttosto meccanico: parti da un minore piccolo ($1\times 1$ o più spesso $2\times 2$) e ne discuti il rango (con osservazioni sul suo determinante), quindi inizi ad orlarlo e continui a discutere i ranghi dei minori via via più grandi, fino ad arrivare alla massima dimensione di un minore quadrato estraibile dalla matrice.

Se posti un esempio vediamo di parlarne.

[giupar93]

$ ( ( h , 1 , -1 , 0 ),( 0 , 1 , h , 1 ),( -1-2h , -2 , 2 , -1 ),( 2 , h-1 , 0 , 1 ) ) $

grazie per l'aiuto

[minomic]

Bene.
Dato che la matrice è quadrata partiamo con il calcolo del suo determinante: troviamo \[-h^3 + h^2 + 2h = -h\left(h^2-h-2\right) = -h\left(h-2\right)\left(h+1\right)\] che quindi si annulla per $h=0, h=2, h=-1$. Se $h$ non assume nessuno di questi valori il determinante non è nullo, quindi la matrice è invertibile e quindi il rango è massimo, pari a $4$. Cosa succede invece in corrispondenza di quei tre valori? Andiamo a sostituirli uno alla volta e vediamo. Ad esempio se $h=0$ la matrice diventa \[\left[\begin{array}{cccc}
0&1&-1&0\\0&1&0&1\\-1&-2&2&-1\\2&-1&0&1
\end{array}\right]\] che ha rango pari a $3$.
E si continua provando con gli altri due valori.

[giupar93]

un consiglio.. perché sto provando a calcolare il determinante da me..non perché diffido dalla tua soluzione ma solamente per capire e afferrare meglio il funzionamento. Per calcolare il determinante della matrice, hai usato laplace?

[minomic]

Sarrus non è utilizzabile perchè vale solo per le matrici $3\times 3$. Puoi utilizzare Laplace sviluppando lungo una riga/colonna dove ci siano più zeri possibili. Poi per il determinante dei minori $3\times 3$ puoi tranquillamente utilizzare Sarrus.
Se hai problemi ti posto tutti i calcoli.

[giupar93]

si infatti come vedi ho modificato subito la risposta..comunque adesso provo a fare io i calcoli..sperando di non incappare in stupidaggini.. ti faccio sapere prima possibile

[giupar93]

nada... se per favore mi puoi postare i calcoli per trovare il determinante te ne sarei grato...perché stupidamente non riesco a calcolarlo e mi risulta diverso dal tuo..

[minomic]

Certo! Dunque la matrice è \[\begin{bmatrix}
h&1&-1&0\\0&1&h&1\\-1-2h&-2&2&-1\\2&h-1&0&1
\end{bmatrix}\] Sviluppo lungo la prima riga: \[h\begin{bmatrix}
1&h&1\\-2&2&-1\\h-1&0&1
\end{bmatrix} - 1\begin{bmatrix}
0&h&1\\-1-2h&2&-1\\2&0&1
\end{bmatrix} - 1\begin{bmatrix}
0&1&1\\-1-2h&-2&-1\\2&h-1&1
\end{bmatrix}\] Quindi utilizzo Sarrus per il calcolo dei determinanti delle $3\times3$: \[h\left(2-h^2+h-2h+2+2h\right)-\left(-2h-4+h+2h^2\right)+\] \[-\left(-2-h+1-2h^2+2h+4+1+2h\right) = \] \[= -h^3+h^2+4h+h+4-2h^2-4+2h^2-3h = -h^3+h^2+2h\]

PS. Verificato al PC, quindi è giusto.

[giupar93]

non mi convince una cosa @minomic su ciò:

$−(−2−h+1−2h^2+2h+4+1+2h)$ perché metti +1+2h??? Perché a me esce:

$−(−2−h+1−2h^2+2h+4-1-2h)$ ???