Dimostrazione distanza punto retta / punto piano

[Cavallo Goloso]

Ciao a tutti,
ho un problema....
come faccio a dimostrare la distanza punto retta e punto piano?
nella dimostrazione che mi dà lui ho la distanza punto retta che è data ed è $d=|ux(B-A)|/|u|$
quindi mi chiedo cosa sia quello a numeratore, vedo che è un prodotto vettoriale, in particolare
$ux(B-A)= u ((B-A)par sin0 + (B-A)per sin 90)$
che, una volta tolto l'addendo con $sin0$ che è uguale a zero, diventa $ux(B-A)=u((B-A)per sin 90)$
Quindi porta la $u$ a primo membro ed ho la definizione dato che $(B-A)per sin90$ è la distanza che vorremo ricavare...
i calcoli non hanno problemi... se non fosse che non mi spiega assolutamente come ha fatto a trovarsi la formula, non so come mai c'è un prodotto vettoriale invece che uno scalare, e tutte le volte dice che lui non l'aveva spiegata così...
stessa cosa per la distanza punto piano solo che lavora coi coseni e c'è, casualmente un prodotto scalare quando, a senso, ci metterei un vettoriale...
grazie per l'aiuto
Alessio

PS la $x$ è un prodotto vettoriale, la $u$ è la retta, par=parallelo e per=perpendicolare

[codino75]

nella dimostrazione che mi dà lui

"lui chi e'?" (Renato Zero)

si scherza................ciao alex

[Cavallo Goloso]

il "lui" in questione è il mio prof di analisi che domattina mi farà piegare ad angolo piatto e me lo metterà nel retto

[karl]

Quella formula e' dimensionalmente esatta perche' a numeratore
non compare un vettore ma il suo modulo.
Il problema ,invece,e' capire chi sono A,B e $vec(u)$.
Supponendo che :
A sia il punto in questione ,B un qualsiasi punto della retta ed $vec(u)$
un vettore "adagiato" sulla retta e con origine in B ,
allora il numeratore di quella formula rappresenta il doppio dell'area del triangolo
di base la "lunghezza" di $vec(u)$ e vertice opposto nel punto A mentre il
denominatore e' la base medesima.Ergo, quella formula indica l'altezza di tale
triangolo rispetto a $vec(u)$ ovvero la distanza di A dalla retta.
karl

[Cavallo Goloso]

scusa la mia insistenza, ma se sto usando il prodotto vettoriale, non dovrei ottenere un vettore perpendicolare al piano su cui giacciono i due vettori che sto considerando? a che mi serve fare il prodotto vettoriale in questo caso? anche se in modulo, non ne vedo l'utilità... non sarebbe più ovvio usare il prodotto scalare che ha come risultato un valore e non un vettore? grazie ancora...

[karl]

Il fatto e' che l'area di un triangolo e' anche pari a $1/2a*b*singamma$
(cioe' al semiprodotto di due lati per il seno dell'angolo compreso).
E questa formula ,moltiplicata per 2,rappresenta proprio il modulo
di un prodotto vettoriale.
karl