Sottospazi lineari

[Tipper]

Sia $\mathcal{V}$ lo spazio vettoriale dei polinomi nelle due variabili $x,y$ a coefficienti in un dato campo $\mathcal{K}$. Considerare i seguenti sottoinsiemi di $\mathcal{V}$. Per ciascuno di essi, dire se forma un sottospazio lineare di $\mathcal{V}$ e, in caso affermativo, indicare la dimensione e descrivere una base.

1) L'insieme deo polinomi ove, in tutti i loro monomi, il grado di $x$ supera il grado di $y$.

2) L'insieme dei polinomi ove compare un monomio di grado $0$ in $x$.

3) L'insieme dei polimomi che hanno grado in $x$ superiore al grado in $y$.

Secondo me il 2) non è un sottospazio lineare, bensì un sottospazio affine, mentre gli altri due sono due sottospazi lineari di dimensione infinita. Il problema è che non so come fare a esprimere le basi. Potreste darmi qualche idea?

Forse per 1) $(x^{k+h} y^{k})$ $\forall h \in \mathbb{N} \setminus \{0\}$, $\forall k \in \mathbb{N}$.

In ogni caso penso non sia giusto, grazie a chiunque proverà a aiutarmi.

[Fioravante Patrone]

nel caso 2, però mi pare che il monomio nullo vada bene
non capisco perché pensi sia affine e non sottospazio vettoriale
a meno che tutto non dipenda dalla caffeina che è lenta ad entrare in circolo, stamane

e l'idea per una base va bene
si tratta di usarla anche per gli altri esempi
stesso caveat di cui sopra...

[Tipper]

Io avevo pensato se $x$ ha grado $0$ allora $x^{0}=1$, quindi un polinomio del tipo $y^{3}+1$ è un sottospazio affine. Però, in effetti, nessuno impedisce che se $x$ ha grado $0$ $y$ non lo abbia, ovvero un polinomio del tipo $y^5x^0 + y^4 x^0=y^5+y^4$ è un sottospazio lineare.

Fin qui vado bene?

[Fioravante Patrone]

Io avevo pensato se $x$ ha grado $0$ allora $x^{0}=1$, quindi un polinomio del tipo $y^{3}+1$ è un sottospazio affine. Però, in effetti, nessuno impedisce che se $x$ ha grado $0$ $y$ non lo abbia, ovvero un polinomio del tipo $y^5x^0 + y^4 x^0=y^5+y^4$ è un sottospazio lineare.

Fin qui vado bene?

mi lasciano molto perplesso le tue affermazioni su "un polinomio del tipo... è un sottospazio lineare"
penso sia solo un modo improprio (ehm...) di espriemersi, visto che al più un polinomio sarà un elemento del tuo spazio vettoriale

a parte questo, direi di sì
osservo che tra i polinomi che hai menzionato tu citerei anche $y^5x^0 + y^4 x^0 + 0 x^0 =y^5+y^4 + 0$ ma, soprattutto, $0 x^0 = 0$
in altri termini, è ovviamente importante che il polinomio nullo ci stia, per avere un sottospazio vettoriale

[Tipper]

Ehm hai ragione... al più un polinomio è un vettore, o una base per un sottospazio...

Il mio era solo un modo veloce, e sbagliato, per dire che il suddetto polinomio appartiene (o meno) al sottospazio.

[Tipper]

Ma per la base come faccio a imporre che compaia sempre un monomio di grado $0$ in $x$?
Se mi chiedesse un insieme in cui il grado della $x$ fosse sempre $0$ basterebbe un base del tipo $(y^{k})$ con $\forall k \in \mathbb{N} \setminus {0}$ e sarei a posto, ma, se non ho capito male, in questo sottoinsieme di $\mathcal{V}$ sono compesi anche i polinomi del tipo $y^{5}+yx$.

[Fioravante Patrone]

a me sembra che il polinomio nullo sia un polinomio nel quale compare un monomio di grado zero in $x$ (al punto 2) non mi è detto che si tratti di un monomio non nullo)

se la mia interpretazione è corretta, in ogni polinomio "compare" un monomio di grado zero in $x$ e quindi il sottospazio coincide con lo spazio vettoriale di partenza

se invece al punto 2) fosse stato richiesto un monomio non nullo di grado zero, non avresti avuto un sottospazio vettoriale: il polinomio nullo non soddisfa questa condizione

[Tipper]

Ora mi stanno prendendo i dubbi più atroci, ma $xy$ è un monomio? (Scusa la domanda banale...)

[Fioravante Patrone]

sì, è un monomio

[Tipper]

Per 2) potrebbe andare bene questa base?

$(y^{\alpha}+x^{\beta}y^{\gamma})$ $\forall \alpha, \gamma \in \mathbb{N} \setminus \{0\}$, $\forall \beta \in \mathbb{N}$