Esercizio sulle applicazioni lineari

[Tipper]

Sia $M_{2}(\mathbb{R})$ lo spazio vettoriale delle matrici $2 \times 2$ a coefficienti in $\mathbb{R}$. La base canonica è formata da queste quattro matrici:

$U_{11}=((1,0),(0,0))$, $U_{12}=((0,1),(0,0))$, $U_{21}=((0,0),(1,0))$, $U_{22}=((0,0),(0,1))$

Sia $\alpha: M_{2}(\mathbb{R}) \rightarrow M_{2}(\mathbb{R})$ la funzione che ad ogni matrice $M \in M_{2}(\mathbb{R})$ associa il prodotto $A^{-1}MA$, ove $A=((2,0),(1,2))$ e $A^{-1}=((1/2,0),(-1/4,1/2))

1) È vero che $\alpha(\cdot)$ è una trasformazione lineare?

2) Scrivere la matrice che rappresenta $\alpha(\cdot)$ rispetto alla base di $M_{2}(\mathbb{R})$ formata da $U_{11}, U_{12}, U_{21}, U_{22}$, prese in quest'ordine.

3) Calcolare gli autovalori di $\alpha(\cdot)$ indicando molteplicità algebrica e geometrica.

4) È vero che $\alpha(\cdot)$ è diagonalizzabile?

Io ho ragionato in questo modo:

Siano $M_{1}, M_{2} \in M_{2}(\mathbb{R})$, allora risulta:

$\alpha(M_1 + M_2) = A^{-1}(M_1 + M_2)A=A^{-1}M_1 A + A^{-1}M_2 A=\alpha(M_1) + \alpha(M_2)$, quindi la proprietà di additività è soddisfatta.

Sia $M \in M_{2}(\mathbb{R})$ e $\lambda \in \mathbb{R}$, allora risulta:

$\alpha(\lambda M)=A^{-1}(\lambda M)A=\lambda(A^{-1}MA)=\lambda \alpha(M)$, quindi anche la proprietà di omogeneità è soddisfatta, quindi $\alpha(\cdot)$ è lineare.

Dato che la dimensione del dominio e del codominio di $\alpha(\cdot)$ vale $4$, al matrice che rappresenta questa applicazione deve essere $4 \times 4$.

Per trovare tale matrice ho calcolato:

$\alpha(U_{11})=((1,0),(-1/2,0))$

$\alpha(U_{12})=((1/2,1),(-1/4,-1/2))$

$\alpha(U_{21})=((0,0),(1,0))$

$\alpha(U_{22})=((0,0),(1/2,1))$

Quindi la matrice che rappresenta $\alpha(\cdot)$ è:

$((1,0,1/2,1),(-1/2,0,-1/4,-1/2),(0,0,0,0),(1,0,1/2,1))$

Fin qui va tutto bene? Se sì sono a cavallo, in quanto gli ultimi due punti sono meccanici.

Grazie.