Volume

[Thomas]

Sarò grato a chi vorrà provare a risolvere questo esercizio per vedere il suo metodo risolutivo, a me i calcoli vengono parecchio brutti...:

Calcolare il volume in $R^3$ del solido individuato dall'intersezione delle superfici:

1) $z=4-y^2$------ (ps:è tipo un cilindro)
2) $z=2x^2+y^2$------ (ps:è tipo un paraboloide)

thx

[luca.barletta]

per controllare se ho fatto i conti bene, come ti esce D?

[Piera]

Mi sembra che il dominio possa essere rappresentato come
$2x^2+y^2<z<4-y^2, x^2+y^2<2$,
a questo punto il volume $V$ è dato da
$V=int_(x^2+y^2<2)(4-2x^2-2y^2)dxdy$
adesso si possono utilizzare le coordinate polari.

[luca.barletta]

ok, confermo

[Thomas]

ok, grazie! mi ero interstardito a voler sezionare il solido con piani orizzontali (anche perchè così il volume di metà del solido era immediato), invece in effetti è molto più comodo integrare prima lungo $z$... speriamo di prenderci la mano in fretta con questi integrali...

grazie mille ad entrambi cmq.... alla prox!

[Thomas]

scusate, visto che siete stati così gentili, potreste dirmi qualcosa anche su questo esercizio? come al solito, il mio procedimento è lungo e calcoloso, e non ne intravedo di più brevi.... ...

$\int_{D} \frac{1}{\sqrt(2z-z^2-y^2)} dxdydz$ ps: il testo è corretto!! (c'è proprio una $z$, non una $x$, nel caso qualcuno se lo stesse chiedendo )

con $D={(x,y,z)|x^2+y^2+(z-1)^2<=1,y^2+z^2<=1}$

io ho sostituito $z-1=f$ e poi sono passato in coordinate cilindriche $f=\r*sin(\theta), y=\r*cos(theta),x=x$... e poi ho integrato su $x$, $\r$ e $\theta$, nell'ordine.

L'integrazione in $x$ avrei potuto farla anche all'inizio, mentre integrare prima in $\r$ e dopo in $\theta$ piuttosto che il viceversa porta a calcoli piuttosto diversi (in un caso si integra con difficoltà, ma si fà, nell'altro ci sono un pò di problemi con il dominio ed è quello che ho scelto io)...

voi cosa fareste??? qualcosa di diverso??

[nnsoxke]

Nel primo esercizio non avrei utilizzato le coordinate polari, avrei notato che intersecando le due superfici con un piano x=c si ottengono due parabole , quindi mi sarei calcolato l'area racchiusa tra le due (in funzione di x) moltiplicato per dx e integrato rispetto ad x ... per il secondo esercizio non saprei.

[luca.barletta]

Avevo pensato di fare così: integro prima in x, l'intervallo di integrazione è $[-sqrt(1-y^2-(z-1)^2),sqrt(1-y^2-(z-1)^2)]$, quindi

$\int_{D} \frac{1}{\sqrt(2z-z^2-y^2)} dxdydz=int 2sqrt(1-y^2-(z-1)^2)/sqrt(2z-z^2-y^2)dydz=int_(y^2+z^2<=1)2dydz=2pi$

giusto?

[Thomas]

non capisco il modo in cui dopo aver integrato sulla x scegli il dominio sul piano (y,z), Luca....

in particolare per come lo scegli te nei calcoli tieni l'espressione $sqrt(2z-z^2-y^2)$ e poi integri su tutto il cerchio. Ma se prendiamo per esempio:

$y_0=1/2$, $z_0=1/40$.

$(y_0,z_0)$ appartiene al cerchio di raggio unitario, ma il radicando vale $-121/600$, e quindi la radice non esiste

ora questo pone problemi...... o no????

diamine non ho un buon rapporto con questi integrali...

[Fioravante Patrone]

@luca.barletta

una furbata (poi basta, sono già due incensate che ti pigli oggi!)


@Thomas
luca.barletta ha fatto quello per cui l'esercizio era stato costruito
è ovvio che l'integrando è stato scelto appositamente, pensando a quella riduzione

direi che si tratta di un esercizio un po' carogna...