Sistema lineare

[folgore]

Ciao a tutti!! Mi aiutate a risolvere questo sistema per favore…grazie!!

$x+y+z-t=0$
$x+hy+z-t=0$
$hx+y=0$
Scrivendo in forma matriciale il sistema risulta che la matrice incompleta è:
$((1,1,1,-1),(1,h,1,-1),(h,1,0,0))$

$((1,1),(1,h))$ $ = h-1”0$ $ = h”1$
Mentre la matrice completa è:
$((1,1,1,-1,0),(1,h,1,-1,0),(h,1,0,0,0))$
$((1,1),(1,h))$ $ = h-1”0$ $ = h”1$
entrambe le matrici hanno lo stesso rango che è 2.Dunque il sistema è sempre compatibile.
Per $h=0$:
${(x+y+z-t=0),(x+z-t=0),(y=0):}$
${(x+z-t=0),(x+z-t=0),(y=0):}$
${(x+z-t=0),(y=0):}$
${(x=t-z),(y=0):}$
Portando questi valori in forma cartesiana otteniamo:
Per $t=a$:
${(x=a-z),(y=0)}$

Per $z=b$:
${(x=a-b),(y=0)}$
Quindi per h=0 l’insieme delle soluzioni è :
$S_0={(a-b,0,b,a)}$
Invece per $h=1$ si ottiene:
$S_1={(c,-c,d,d)}$
Ora nn riesco a determinare l’insieme delle soluzioni per $h”0,1$ che il mio testo dice che risulta
$S_h={(0,0,k,k)}$
Come faccio a determinare le soluzioni per $h”0,1$ ????
Perché quando il rango della matrice completa nn coincide con il rango della matrice incompleta
allora il sistema nn ammette soluzioni perché è incompatibile ma in questo sistema da quello che ho potuto riscontrare il rango è lo stesso per entrambe le matrici….Come si procede??

[folgore]

Ah scusate cmq il simbolo " vuol dire "diverso" scusate ma ho sbagliato a postare......

[Camillo]

Quando $ h ne 0, ne 1 $ allora il rango della matrice incompleta è 3 ; naturalemnte il rango della matrice completa è ancora 3 , in quanto si tratta di sistema omogeneo ( i termini noti sono tutti nulli ) e quidni soluzioni ci sono sempre.
Le incognite sono : 4 , il rango 3 ; quindi avrai $oo ^1 $ soluzioni.
Per trovare le soluzioni nel caso sopra detto considera la variabile $ t $ come parametro e sposta le variabili $t $ a secondo membro ,considerandole come termine noto .
A questo punto la matrice dei coefficienti o matrice incompleta del nuovo sistema , se $h ne 0, ne 1 $ ha rango 3 e con la regola di Cramer puoi trovare le soluzioni facilemnte che sono :
$x=y=0 $
$z=t $
$t=t$ , se vuoi chiamare $t $ col nome di $k $ è ovviamente lo stesso , è un parametro libero.