da Bremen000 » 16/02/2017, 12:19
Ciao, secondo me è proprio sbagliato come dimostri che nel caso reale quello non è un sottospazio vettoriale, da cui poi deriva l'errore nel caso complesso. Dunque:
Sia $S := {((a^2),(0))\in \mathbb{R}^2 , a \in \mathbb{R}}$. Proviamo a dimostrare che è un sottospazio vettoriale di $\mathbb{R}^2$ sul campo $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ :
1. $((0),(0)) \in S$ essendo sufficiente scegliere $a=0 \in \mathbb{R} $
2. Siano $((a_1^2),(0))$ e $((a_2^2),(0))$ due elementi di $S$, la loro somma è data da $((a_1^2),(0)) + ((a_2^2),(0)) = ((a_1^2 + a_2^2),(0)) \in S$ giacché è sufficiente scegliere $a = \sqrt{a_1^2+a_2^2} \in \mathbb{R} $ infatti la radice quadrata di un numero non negativo è un numero reale.
3. Sia $((b^2),(0)) \in S $ e sia $k \in \mathbb{R} $ allora il prodotto dello scalare per il vettore è dato da $k ((b^2),(0)) = ((kb^2),(0))$ con $a = \sqrt{ka^2}$ che però non è necessariamente un numero reale se $k<0$.
Morale della favola, quello che fallisce nel primo caso è il prodotto per uno scalare e non la somma e dunque $S$ così definito non è un sottospazio vettoriale di $\mathbb{R}^2$.
Nel caso di $\mathbb{C}^2$ lo è e dimostrarlo ora dovrebbe esserti molto facile!
"Nessuno riuscirà a cacciarci dal Paradiso che Cantor ha creato per noi." (Hilbert)