$\phi^2=\phi \leftrightarrow \phi$ è proiezione

[nicolailcmp]

Sia $\phi$ applicazione lineare $\phi: V \rightarrow V$: allora $\phi^2=\phi \leftrightarrow \phi$ è proiezione.
In degli appunti che mi son fatto passare, non mi è chiara la dimostrazione dell'implicazione $\rightarrow$.
Chiaramente la $\leftarrow$ vale.
La $\rightarrow$ viene provata in questo modo ma non mi sembra completa:
Sia $\phi^2=\phi$. Si ha, $\forall v \in V$, $v=\phi(v)+(v-\phi(v))$ dove $\phi(v) \in im\phi$ e $(v-\phi(v))\in ker\phi$ (dato che $\phi(v-\phi(v))=0$).
Dunque $V=ker\phi+im\phi$ (dove l'inclusione $\supseteq$ è ovvia). Inoltre, dalla formula delle dimensioni necessariamente $ker\phi \cap im\phi=\emptyset$ e dunque $V=ker\phi \oplus \im\phi$.
Da qui conclude dicendo: dunque $\phi$ è la proiezione su $\im\phi$ parallelamente a $ker\phi$.
Ma non è vero che se $V=ker\phi \oplus \im\phi$ allora $\phi$ è la proiezione sul ker parallelamente all'im.
Difatti se pensiamo a $V=\mathbb{R}^2$ sul piano $x,y$ e prendiamo $\pi$ la proiezione su $x$ parallelamente a $y$, e prendiamo $\phi$ la funzione da $V$ in $V$ definita come $\pi$ tranne per un punto, ad esempio $(3,2)$ che diciamo va a finire in $(4,0)$, si ha che $\phi$ soddisfa chiaramente a $V=ker\phi \oplus \im\phi$ ma non è vero più che $\phi$ sia la proiezione su $x$ (l'immagine) prallelamente a $y$ (il ker) e quindi non è neanche una proiezione. Cosa manca alla dimostrazione?


edit: mi son accorto che potrebbe essere che $\phi$ cosi definita non sia un'applicazione lineare... Il fatto è che è vero che se $V=ker\phi \oplus \im\phi$ allora $\phi$ è la proiezione sull'im parallelamente al ker? A me non sembra così ovvio. Come si dimostra?

[Steven]

E' esattamente come sospetti, la seconda applicazione che hai definito non e' lineare, quindi il tuo controesempio non vale.


Ad occhio e croce, tuttavia, mi pare che la dimostrazione debba essere completata mostrando per bene che la somma e' diretta (non vedo come la formula delle dimensioni possa aiutare, onestamente). Ma e' facile da vedere, poiche' basta solo provare che l'intersezione dell'immagine e del nucleo e' banale (solo lo zero), che lo lascio a te

Un esempio di mappa $f \in End(RR^2)$ dove nucleo e immagine si intersecano non banalmente e' la mappa che manda $(x,y)$ in $(y,0)$, come puoi facilmente verificare. Il nocciolo del discorso e' che qua non hai una proiezione perche' non ti stai soltanto "dimenticando" di una coordinata, ma stai anche eseguendo una riflessione (precisamente, stai prima riflettendo e poi proiettando).


ps:
$ ker\phi \cap im\phi=\{0\} $,
e NON
$ ker\phi \cap im\phi=\emptyset $

Ciao!