Geometria proiettiva (determinare una proiezione)

Messaggioda Søren » 04/03/2017, 16:31

Il testo dell'esercizio è il seguente: In $P^3(R)$ siano $P= [1, 1,0, 0]$ e H il piano di equazione $2X_0-X_1+X_3=0$. Determinare la proiezione da P in H di $ Q= [1, -1, -1, 1]$.
Penso che per risolverlo si debba trovare l'equazione di una retta passante per P e Q e poi metterla a sistema con l'equazione del piano. È giusto questo ragionamento? Come posso trovare l'equazione cartesiana di una retta per due punti in $P^3$? Saprei farlo solo in $P^2$... qui non saprei come procedere.
Søren
Junior Member
Junior Member
 
Messaggio: 33 di 109
Iscritto il: 01/11/2015, 12:29

Re: Geometria proiettiva (determinare una proiezione)

Messaggioda Samy21 » 12/11/2019, 18:53

Scusate se riporto in alto un vecchio post ma sto svolgendo lo stesso esercizio (tratto dal Sernesi) e ho lo stesso dubbio.
Per poter calcolare la proiezione devo prima calcolare la retta congiungente i punti P e Q.
Io ho svolto in questo modo.
Dall'equazione del piano noto che non appare $X_2$ quindi posso considerarla una coordinata libera che assumerà valore 1.

Calcolo l'equazione escludendo $X_2$ e ottengo $X_0-X_1-2X_3=0$ e facendo sistema con l'equazione del piano data nel testo ricavo $X_0=-3X_3$,$X_1=-5X_3$ e quindi mi verrebbe da scrivere che la proiezione è $[-3,-5,1,1]$ ma la soluzione data nel testo è invece $[3,5,1,-1]$.

Grazie per l'aiuto.
Samy21
Average Member
Average Member
 
Messaggio: 596 di 610
Iscritto il: 10/06/2009, 13:27
Località: Mars

Re: Geometria proiettiva (determinare una proiezione)

Messaggioda alessio76 » 13/11/2019, 00:34

Samy21 ha scritto:Scusate se riporto in alto un vecchio post ma sto svolgendo lo stesso esercizio (tratto dal Sernesi) e ho lo stesso dubbio.
Per poter calcolare la proiezione devo prima calcolare la retta congiungente i punti P e Q.
Io ho svolto in questo modo.
Dall'equazione del piano noto che non appare $X_2$ quindi posso considerarla una coordinata libera che assumerà valore 1.

Calcolo l'equazione escludendo $X_2$ e ottengo $X_0-X_1-2X_3=0$ e facendo sistema con l'equazione del piano data nel testo ricavo $X_0=-3X_3$,$X_1=-5X_3$ e quindi mi verrebbe da scrivere che la proiezione è $[-3,-5,1,1]$ ma la soluzione data nel testo è invece $[3,5,1,-1]$.

Grazie per l'aiuto.


Una retta in $\mathbb P_3$ è rappresentabile o come intersezione di due piani ($X_0-X_1-2X_3=0$, in $\mathbb P_3$, è "solo" un piano) o mediante equazioni parametriche...per quanto la notazione "traballi" le parametriche per la retta le trovi a partire da
$$
"aP+bQ"=[a+b:a-b:-b:b]
$$
al variare di $[a:b]\in\mathbb P_1$ (pag. 288 eq.ne [24.7] di Sernesi/1ed) quindi...(fai i conti, la soluzione del testo è corretta).

La storia sulla coordinata libera proprio non la capisco...???
alessio76
Junior Member
Junior Member
 
Messaggio: 97 di 115
Iscritto il: 06/11/2011, 20:32

Re: Geometria proiettiva (determinare una proiezione)

Messaggioda Samy21 » 13/11/2019, 09:22

Nella seconda edizione non mi ritrovo questa definizione o forse sarà più avanti. Grazie per la spiegazione.

alessio76 ha scritto:La storia sulla coordinata libera proprio non la capisco...???

Una sciocchezza scritta, tranquillo.
Samy21
Average Member
Average Member
 
Messaggio: 597 di 610
Iscritto il: 10/06/2009, 13:27
Località: Mars

Re: Geometria proiettiva (determinare una proiezione)

Messaggioda alessio76 » 13/11/2019, 10:51

Samy21 ha scritto:Nella seconda edizione non mi ritrovo questa definizione o forse sarà più avanti. Grazie per la spiegazione.

alessio76 ha scritto:La storia sulla coordinata libera proprio non la capisco...???

Una sciocchezza scritta, tranquillo.


Figurati, ti tornano i conti?
Da qualche parte le equazioni parametriche del congiungente lineare di punti dovrà pur scriverle, comunque Sernesi non hai mai usato la notazione traballante, ma comoda, che ho usato io, sul libro ci sarà un bel sistemozzo con tante lettere biindiciate eccetera...ma il concetto è quello.
alessio76
Junior Member
Junior Member
 
Messaggio: 101 di 115
Iscritto il: 06/11/2011, 20:32

Re: Geometria proiettiva (determinare una proiezione)

Messaggioda Samy21 » 16/11/2019, 11:41

Scusami se rispondo in ritardo.
Onestamente non ho ben capito come avrei dovuto applicare la formula, chi sono a e b.

Il Sernesi è un libro bellissimo ma diventa molto chiaro solo dopo che hai digerito la materia.
Samy21
Average Member
Average Member
 
Messaggio: 598 di 610
Iscritto il: 10/06/2009, 13:27
Località: Mars


Torna a Geometria e algebra lineare

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Nessuno e 15 ospiti