Siano A,B matrici che possono essere moltiplicate
allore anche le matrici tB e tA possono essere moltiplicate e si ha: t(AB)=tBtA
DIMOSTRAZIONE:
Sia $A= (a_(ij)); B=(b_(jk)) $ Sia $AB=C$
allora $ c_(ik)= sum_(j = \1...n ) a_(ij)b_(jk) $
sia tB= $(b'_(kj))$ e tA= $(a'_(ji))$, allora la componente $k_i$ del prodotto tBtA è $ sum_(i = \1...n) b'_(kj)a'_(ji) $
Poiché $b'_(kj)=b_(jk)$ e $a'_(ji)=a_(ij)$, vediamo che quest'ultima espressione è uguale a:
$ sum_(i = \1...n) b_(jk)a_(ij) = sum_(i = \1...n) a_(ij)b_(jk) $
ma in questo modo non abbiamo dimostrato che tBtA=AB ?
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Sia$A$ una matrice quadrata $nxn$
Diremo che $A$ è invertibile oppure non singolare se esiste una matrice $nxn B$ tale che: $AB=BA=I_n$
Una tale matrice $B$ è univocamente determinata da $A$, in quanto se $C$ è una matrice per cui $AC=CA=In$, allora
$B=BI_(n)=B(AC)=(BA)C=I_(n)C=C$
Questa matrice $B$ sarà chiamata l'inversa di $A$ e sarà denotata con $A^(-1)$
come può essere $B=BI_(n) $ ?