: teorema moltiplicazione matrici

[Lavinia Volpe]

Siano A,B matrici che possono essere moltiplicate
allore anche le matrici tB e tA possono essere moltiplicate e si ha: t(AB)=tBtA

DIMOSTRAZIONE:
Sia $A= (a_(ij)); B=(b_(jk)) $ Sia $AB=C$
allora $ c_(ik)= sum_(j = \1...n ) a_(ij)b_(jk) $

sia tB= $(b'_(kj))$ e tA= $(a'_(ji))$, allora la componente $k_i$ del prodotto tBtA è $ sum_(i = \1...n) b'_(kj)a'_(ji) $

Poiché $b'_(kj)=b_(jk)$ e $a'_(ji)=a_(ij)$, vediamo che quest'ultima espressione è uguale a:
$ sum_(i = \1...n) b_(jk)a_(ij) = sum_(i = \1...n) a_(ij)b_(jk) $

ma in questo modo non abbiamo dimostrato che tBtA=AB ?
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Sia$A$ una matrice quadrata $nxn$
Diremo che $A$ è invertibile oppure non singolare se esiste una matrice $nxn B$ tale che: $AB=BA=I_n$
Una tale matrice $B$ è univocamente determinata da $A$, in quanto se $C$ è una matrice per cui $AC=CA=In$, allora
$B=BI_(n)=B(AC)=(BA)C=I_(n)C=C$
Questa matrice $B$ sarà chiamata l'inversa di $A$ e sarà denotata con $A^(-1)$

come può essere $B=BI_(n) $ ?

[LLG GKV]

1) no valgono infatti le relazioni
i) $ [AB]_(ij)=sum_(k =1 \ldots n) A_(ik)B_(kj) $
ii) $ {::}_(\ \ )^(t) text(A)_(ij)=A_(ji) $
quindi il prodotto delle trasposte si scrive $ [{::}_(\ \ )^(t) text(B){::}_(\ \ )^(t) text(A)]_(ij)=sum_(k = 1\ldotsn) {::}_(\ \ )^(t) text(B){::}_(ik){::}_(\ \ )^(t) text(A)_(kj) $
che per la ii) diventa
$ [{::}_(\ \ )^(t) text(B){::}_(\ \ )^(t) text(A)]_(ij)=sum_(k = 1\ldotsn) B_(ki)A_(jk)=[AB]_(ji)={::}_(\ \ )^(t) text([AB])_(ij) $
che è la tesi.

2) l'ultima relazione che hai scritto è vera perchè $ I_n $ è l'unità del gruppo moltiplicativo delle matrici nxn, in particolare perchè, essendo diagonale, nel prodotto matriciale si annullano tutti e soli i termini del tipo $ I_(ij) $ con $ i!= j $, mentre gli altri sono unitari, dunque nella formula di prima risulta che $ [BI_(n)]_(ij)=B_(ij) $ .

Spero di esserti utile.

[Lavinia Volpe]

1) non ti capisco
prima parli di $A_(ik)$, poi diventa $A_(ij)$, poi $A_(jk)$ ...

[Lavinia Volpe]

Sicuro di non aver sbagliato?

[Lavinia Volpe]

Vabè, comunue dal libro adesso l'ho capito