Forma canonica di Jordan

[Fra27]

Salve ho qualche dubbio riguardo l'argomento della forma canonica di Jordan..

Durante l'esecuzione di alcuni esercizi dove si chiede di trovare la forma canonica di un particolare endomorfismo, una volta trovati gli autovalori, per determinare la combinazione giusta (ad esempio se la molteplicità geometrica è 2 e molteplicità algebrica =4 capire se ci saranno 2 blochi 2x2 o uno da 3x3 e l'altro da 1x1) si calcola il rango di $f-\lambdaId$ e di $(f-\lambdaId)^2$. Cosa determina quest'ultimo?

[Shocker]

Con i conti.

Di solito trovi la matrice $A$ associata all'endomorfismo $f$ rispetto a una base e calcoli il rango di $A- \lambdaI$ con gauss, oppure con i minori.

Edit: ho letto male, avevo capito "Come si determina" e non "Cosa determina".
Dammi 5 minuti e ti rispondo.

Non so come hai fatto Jordan per cui se qualcosa non ti è chiara scrivi pure.

Allora, riduciamoci al caso nilpotente(aka $f$ ha come unico autovalore $0$) poiché fatto questo è banale estendere il risultato a endomorfismi con autovalori non nulli.

Allora sia $f$ endomorfismo con polinomio minimo $m(t) = t^s$ e polinomio caratteristico $p(t) = (-1)^nt^n$, osserva che l'esponente $s$ del polinomio minimo determina la taglia massima che un blocco di Jordan di $f$ può avere(e osserva che ne esiste sempre almeno uno di taglia massima), la dimensione del nucleo di $f$ invece dice quanti blocchi di jordan ci sono in totale, mentre le dimensioni dei nuclei delle potenze di $f$ servono per calcolare quanti blocchi di un certo ordine ci sono.
Prima di continuare vorrei capire se fin qui(diciamo le prime tre righe) ti torna tutto, altrimenti c'è da scrivere un bel po'

[Fra27]

Con i conti.

Di solito trovi la matrice $A$ associata all'endomorfismo $f$ rispetto a una base e calcoli il rango di $A- \lambdaI$ con gauss, oppure con i minori.

Edit: ho letto male, avevo capito "Come si determina" e non "Cosa determina".
Dammi 5 minuti e ti rispondo.

Non so come hai fatto Jordan per cui se qualcosa non ti è chiara scrivi pure.

Allora, riduciamoci al caso nilpotente(aka $f$ ha come unico autovalore $0$) poiché fatto questo è banale estendere il risultato a endomorfismi con autovalori non nulli.

Allora sia $f$ endomorfismo con polinomio minimo $m(t) = t^s$ e polinomio caratteristico $p(t) = (-1)^nt^n$, osserva che l'esponente $s$ del polinomio minimo determina la taglia massima che un blocco di Jordan di $f$ può avere(e osserva che ne esiste sempre almeno uno di taglia massima), la dimensione del nucleo di $f$ invece dice quanti blocchi di jordan ci sono in totale, mentre le dimensioni dei nuclei delle potenze di $f$ servono per calcolare quanti blocchi di un certo ordine ci sono.
Prima di continuare vorrei capire se fin qui(diciamo le prime tre righe) ti torna tutto, altrimenti c'è da scrivere un bel po'

Intanto grazie per avermi risposto così velocemente
Comunque fin qui tutto chiaro

[Shocker]

Ok!

Bene allora richiamo un attimo come si costruisce una base di Jordan(qui influisce pesantemente come ti hanno presentato Jordan, credo), bene: consideriamo la successione dei nuclei di $f$: $Ker(f), Ker(f^2), ..., Ker(f^(s-1)), Ker(f^s) = V$, scriviamo $Ker(f^s) = V = Ker(f^(s-1)) \oplus W_s$ dove $W_s$ è un supplementare di $Ker(f^(s-1))$ di dimensione $r_s$ e generato da ${v_{1, s} , ..., v_{r_s, s}}$, adesso applichiamo $f$ a questi vettori e otteniamo ${f(v_{1, s}) , ..., f(v_{r_s, s})}$, è noto(se non lo è dimmelo) che $Span({f(v_{1, s}) , ..., f(v_{r_s, s})}) nn Ker(f^(s-2)) = {0}$ quindi possiamo scrivere $Ker(f^(s-1)) = Ker(f^(s-2) \oplus W_(s-1)$ dove $W_(s-1) = Span({f(v_{1, s}) , ..., f(v_{r_s, s}), v_{r_s + 1, s-1}, ..., v_{r_(s-1), s-1} } = { v_{1, s-1}, ..., v_{r_s, s-1}, v_{r_s + 1, s-1}, ..., v_{r_(s-1), s-1} }$(ho rinominato $f(v_{i, s})$ come $v_{i, s-1}$) con $r_(s-1) = dimW_{s-1}$, applichiamo $f$ a questi vettori e otteniamo ${ v_{1, s-2}, ..., v_{r_s, s-2}, v_{r_s + 1, s-2}, ..., v_{r_(s-1), s-2} }$ il cui span ha intersezione banale con $Ker(f^(s-3))$ e quindi come sopra posso scrivere $Ker(f^(s-2)) = Ker(f^(s-3)) \oplus W_{s-2}$ dove $W_(s-2) = Span( { v_{1, s-2}, ..., v_{r_s, s-2}, v_{r_s + 1, s-2}, ..., v_{r_(s-1), s-2}, v_{r_{s-1} + 1, s-2}, ..., v_{r_{s-2}, s-2}}$ e $r_{s-2} = dimW_(s-2)$, itero il procedimento¹ scegliendo supplementari $W_j$ tali che $Ker(f^j) = Ker(f^(j-1)) \oplus W_j$ e $r_j = dimW_j$.
Adesso dispongo i vettori trovati in una tabella(fatta malissimo perché non legge il codice latex per creare una tabella vera), in questo modo :

$v_{1, s} \ \ \ \cdots \ \ \ v_{r_s, s} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{base di W_s}$
$\downarrow_{f} \ \ \ \ \cdots \ \ \ \downarrow_{f}$
$v_{1, s-1} \ \cdots \ \ \ \v_{r_s, s-1} \ \ \ \cdots \ \ \ v_{r_{s-1}, s-1} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{base di }W_{s-1} $
$\downarrow_{f} \ \ \ \ \ \cdots \ \ \ \downarrow_{f} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \cdots \ \ \downarrow_{f}$
$ \vdots \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \vdots \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \vdots \ \ \ \ \ \ \ \ \ $
$v_{1, 2} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ v_{r_s, 2} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ v_{r_{s-1}, 2} \ \ \ \ \ \ \ \ \cdots \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ v_{r_2, 2} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{base di } W_2$
$\downarrow_{f} \ \ \ \ \ \cdots \ \ \ \downarrow_{f} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \cdots \ \ \downarrow_{f} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \cdots \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \downarrow_{f}$
$v_{1, 1} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ v_{r_s, 1} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ v_{r_{s-1}, 1} \ \ \ \ \ \ \ \ \cdots \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ v_{r_2, 1} \cdots \v_{r_1, 1} \ \ \ \ \ \ \ \ \text{base di } Ker(f)$

dove $W_1 = Ker(f)$ e quindi $r_1 = dimKer(f)$.
In questo modo hai scritto $V$ così: $V = Ker(f^(s-1)) \oplus W_s = Ker(f^(s-2)) \oplus W_(s-1) \oplus W_s = \ldots = Ker(f) \oplus \cdots \oplus W_s$, quindi i vettori in tabella formano una base di $V$; per costruire una base di Jordan per $f$ prendo i vettori dal basso verso l'alto e da sinistra verso destra: insomma una base di Jordan è costituita dall'unione delle colonne(prese dal basso verso l'altro) da sinistra verso destra. Com'è fatta una colonna? Nota che abbiamo applicato $f$ fino ad arrivare a $Ker(f)$ quindi se considero la prima colonna ho che ${v_{1, 1}, v_{1, 2}, ..., v_{1, s}} = {f^{s-1}(v_{1, s}), f^{s-2}(v_(1, s)), \ldots, v_{1, s}}$, se calcoliamo la matrice di $f$ ristretta allo span di questi vettori ottengo un blocco di Jordan di $f$ relativo a $0$ e di taglia massima, provare per credere! Spero che adesso ti sia più chiaro perché la taglia massima è $s$ e perché c'è sempre almeno un blocco di taglia massima: dato che $0$ è autovalore allora la dimensione del $Ker$ di $f$ è maggiore di $0$, dunque ho almeno una colonna di taglia massima, per costruzione, che mi genera un blocco di taglia massima. Infine osserva che la dimensione del nucleo dà effettivamente il numero di blocchi totali di Jordan, questo è dovuto al fatto, già ripetuto, che ogni colonna genera un blocco di jordan.

Adesso, perché calcolare $rk(f), rk(f^2), ..., rk(f^(s-1))$? Perché sapendo i ranghi è possibile risalire alla dimensione dei nuclei $dim(Ker(f)), ..., dim(Ker(f^(s-1))$ e con queste cosa ci faccio? Ci calcoliamo esattamente il numero di blocchi di ordine $j$ presenti nella forma di jordan di $f$

Osservando la tabella si nota che il numero di blocchi di ordine, che ne so, $s-1$ è dato da $dimW_ {s-1} - dimW_{s}$(ricoda che i blocchi sono generati da colonne! Quindi devo togliere le colonne più alte, che sono $dimW_s$), ecco ma ricorda che $Ker(f^s) = Ker(f^(s-1) \oplus W_s$ e $Ker(f^(s-1)) = Ker(f^(s-2)) \oplus W_(s-1)$ da cui si ricava che $dimW_(s-1) = dimKer(f^(s-1)) - dimKer(f^(s-2))$ e $dim(W_s) = dimKer(f^s) - dimKer(f^(s-1))$ e quindi il numero di blocchi di ordine $s-1$ è $dimW_ {s-1} - dimW_{s} = dimKer(f^(s-1)) - dimKer(f^(s-2)) - (dimKer(f^s) - dimKer(f^(s-1))) = 2dimKer(f^(s-1)) - dimKer(f^s) - dimKer(f^(s-2)) $, in sostanza abbiamo esplicitato il numero di blocchi di ordine $s-1$ in funzione delle dimensioni dei nuclei!!

Bene, fatto il caso particolare è ora di passare al generale: quanti sono i blocchi di ordine $j$? Come sopra devo calcolare le colonne alte "$j$", queste si trovano in $W_j$ ma in $W_j$ ci sono anche colonne più alte, le quali provengono tutte da $W_(j+1)$, quindi il numero di blocchi di ordine $j$ è: $dimW_j - dimW_(j+1)$ ma $dimW_j = dimKer(f^j) - dimKer(f^(j-1))$ e $dimW_(j+1) = dimKer(f^(j+1)) - dimKer(f^j)$, quindi il numero di blocchi $b_j$ di ordine $j$ è $b_j = dimKer(f^j) - dimKer(f^(j-1)) - (dimKer(f^(j+1)) - dimKer(f^j)) = 2dimKer(f^j) - dimKer(f^(j+1)) - dimKer(f^j))$, grazie a questa formula sai esattamente quanti blocchi di jordan di ordine $j$ ci sono².


Morale della favola:

1) la dimensione del nucleo mi dice il numero di blocchi di jordan totale
2) la dimensione dei nuclei delle potenze successive mi permette di calcolare con esattezza il numero di blocchi di jordan di un certo ordine, questo significa che la forma di Jordan di un endomorfismo nilpoitente dipende unicamente dall'autovalore $0$, dalla moleplicità algebrica di $0$ nel polinomio minimo dell'endomorfismo e dalle dimensioni dei nuclei delle potenze dell'endomorfismo.


Facciamo un esempio concreto: sia $A = ( (1, 0, -1, 1), (1, 0, -1, 1), (1, -3, 1, -1), (0, -3, 2, -2))$, il polinomio caratteristico è $p(t) = t^4$, quindi $A$ è nilpotente e ha come unico autovalore $0$, inoltre $dimKerA = 2$;

$A^2 = ( (0, 0, 0, 0), (0, 0, 0, 0), (-1, 0, 1, -1), (-1, 0, 1, -1))$ e si ha che $dimKerA^2 = 3$, $A^3 = 0$ quindi il polinomio minimo è proprio $m(t) = t^3$

Quindi ho $KerA \sub KerA^2$ e $dimKerA^2 = 3$, $dimKerA=2$, $dimKerA^3 = dimKerA^4 = \ldots = dimKerA^n = 4$.
L'informazione sul nucleo mi dice che ci sono esattamente due blocchi, la molteplicità algebrica di $0$ nel polinomio minimo è $3$ e questo mi dice che c'è almeno un blocco di ordine $3$. Quindi la forma di Jordan è necessariamente
$J(A) = ( (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 0), (0, 0, 0, 0))$, cioè ho un blocco di ordine $3$ e uno di ordine $1$(l'ultimo $0$ in basso a destra).

Calcoliamo, just for fun, il numero di blocchi: $b_1 = 2dimKer(A) - dimKer(A^0) - dimKer(A^2) = 2*2 - 0 -3 = 1$ e $b_3 = 2dimKer(A^3) - dimKer(A^2) - dimKer(A^4) = 2 * 4 - 4 - 1 = 1$, $b_2 = 2dimKerA^2 - dimKerA - dimKerA^3 = 2*3 - 2 - 4 = 0$, $b_4 = 2*dimKerA^4 - dimKerA^3 - dimKerA^4 = 2*4 - 4 - 4 = 0$. Tutto torna.

Chiaramente tutto ciò si estende ad enfomorfismi non nilpotenti in questo modo:

1)Si calcola lo spettro di $f \in End(V)$, si calcola il polinomio caratteristico $p(t) = (t-\lamda_1)^(h_1)*...*(t-\lambda_p)^(h_p)$
2)Per ogni autovalore $\lambda_j \in Sp(f)$ studia $f_j = f- \lambda_j Id$ ristretto all'autospazio generalizzato $Ker(f-\lambdaId)^(h_j)$
3)$f_j = f- \lambda_j Id$ ristretta a $Ker(f-\lambdaId)^(h_j)$ è nilpotente, quindi si trova la sua forma canonica di jordan, da cui si risale a quella di $f$ ristretta a $Ker(f-lambdaId)^(h_j)$ aggiungendo $\lambda_j*I$
4)Una volta fatti i punti 2, 3) per ogni autovalore si costruisce la matrice diagonale a blocchi $Diag(J(f_1) + \lambda_1Id, ..., J(f_p) + \lambda_p Id)$


Se non hai capito qualcosa scrivi pure, ciao!

---

Note

1. cioè applico $f$ ai vettori del supplementare $W_i$, così facendo entro in $Ker(f^i)$ e trovo un supplementare di $Ker(f^(i-1))$ in $Ker(f^i)$ che sarà generato dai trasformati di $f$ più eventualmente alcuni vettori ↑
2. Si conviene che $dimKer(f^0) = 0$ e $dimKer(f^(s+1)) = dimKer(f^s))$ ↑

[Fra27]

Adesso, perché calcolare $rk(f), rk(f^2), ..., rk(f^(s-1))$? Perché sapendo i ranghi è possibile risalire alla dimensione dei nuclei $dim(Ker(f)), ..., dim(Ker(f^(s-1))$ e con queste cosa ci faccio? Ci calcoliamo esattamente il numero di blocchi di ordine $j$ presenti nella forma di jordan di $f$

Perdona la domanda sciocca... noi risaliamo alla $dim(Ker(f)), ..., dim(Ker(f^(s-1))$ sapendo $rk(f), rk(f^2), ..., rk(f^(s-1))$ attraverso il teorema del rango $dim(Ker(f))+dim(Im(f))=n$?

Ho dei dubbi rigurdo la risoluzione di un esercizio, lo riassumo:
dimensione matrice $6$
2 autovalori $\lambda_1=1$ ,$\lambda_2=-1$
$ma(\lambda_1)=4$ $ma(\lambda_2)=2$

la matrice $A-Id$ ha rango 4, quindi ci saranno 2 blocchi relativi a $\lambda_1$.
Calcolando il rango $(A-Id)^2 = 1$ questo già ci fa capire che ci saranno due blocchi $2$x$2$ e non uno $3$x$3$ + $1$x$1$? Perchè nella risoluzione non viene calcolato il rango di $(A-Id)^3$.
Io però me lo sono calcolato e non è 0 ma 2. Quindi in base a ciò che ho capito potrebbe esserci anche un blocco $3x3$ essendo il rango diverso da 0. Invece nello svolgimento c'è scritto :sapendo che rango di $(A-Id)^2=2$ e di $(A-Id)=4$ ci saranno due blocchi $2$x$2$.

Potresti spiegarmi questa cosa?

[Shocker]

Perdona la domanda sciocca... noi risaliamo alla $dim(Ker(f)), ..., dim(Ker(f^(s-1))$ sapendo $rk(f), rk(f^2), ..., rk(f^(s-1))$ attraverso il teorema del rango $dim(Ker(f))+dim(Im(f))=n$?

sì

Calcolando il rango $(A-Id)^2 = 1$

No il rango è $2$.

Io però me lo sono calcolato e non è 0 ma 2.

Perché non sei più nel caso in cui l'endomorfismo è nilpotente, quando calcoli ranghi e nuclei delle potenze ti fermi esattamente quando la dimensione del nucleo di $f-\lambda Id$ coincide con la molteplicità algebrica di $\lambda$ nel polinomio caratteristico, da quel punto lì in poi tutte le dimensioni si stabilizzano e quindi non ha senso continuare a calcolare potenze.

Nel nostro caso hai trovato che $rk(A-Id)^2) = 2$ quindi $dimKer(A-I)^2 = 4 = ma(1)$, quindi la successione dei nuclei si stabilizza a $(A-I)^2$. Infatti quando hai calcolato $rk(A-I)^3$ ti sei accorta che era uguale al rango di $(A-I)^2$.

Quindi in base a ciò che ho capito potrebbe esserci anche un blocco $3x3$ essendo il rango diverso da 0. Invece nello svolgimento c'è scritto :sapendo che rango di $(A-Id)^2=2$ e di $(A-Id)=4$ ci saranno due blocchi $2$x$2$.

Potresti spiegarmi questa cosa?

Il numero di blocchi ce lo dà $dimKer(A-I) = 2$ poiché $rk(A-I) = 2$, adesso il fatto che $rk(A-Id)^2 = 2$ ci dice che $dimKer(A-I)^2 = 4 = ma(1)$ dunque la taglia massima dei blocchi è $2$ e quindi c'è almeno un blocco di taglia $2$, visto che il numero totale dei blocchi è $2$ allora necessariamente il secondo blocco ha taglia $2$.

[Fra27]

Calcolando il rango $(A-Id)^2 = 1$

No il rango è $2$.

Avevo sbagliato a scrivere infatti. Comunque sei stato chiarissimo , grazie mille

Avrei un'altra domanda da porti, perchè questa matrice è già in forma di Jordan?

$ A = ( (1,0,1), (0,-1,0), (0,0,1) ) $

[Shocker]

Non è in forma di Jordan

[Fra27]

Non è in forma di Jordan

Sulla risoluzione che ho c'è scritto che se si cambia la base in $e_1,e_3,e_2$ diventa in forma di Jordan...

[Shocker]

Non è in forma di Jordan

Sulla risoluzione che ho c'è scritto che se si cambia la base in $e_1,e_2,e_3$ diventa in forma di Jordan...

Che è ben diverso dal dire che la matrice è già in forma di Jordan! Poi non credo che la base di Jordan sia ${e_1, e_2, e_3}$, probabilmente è ${e_1, e_3, e_2}$, infatti la matrice associata a $L_A(x) = Ax$ rispetto a ${e_1, e_3, e_2}$ è $( (1, 1, 0), (0, 1, 0), (0, 0, -1))$ che è proprio la forma di jordan di $A$.