Salve a tutti,
Volevo sapere se questo esercizio l'ho risolto in maniera corretta o no.
Sia $phi : RR^4 xx RR^4 to RR$ l'applicazione bilineare simmetrica che rispetto alla base canonica di $RR^4$ ha matrice associata $A=((0,0,0,1),(0,1,-2,0),(0,-2,0,0),(1,0,0,-1))$
a) calcolare la segnatura di $phi$;
b) determinare una base $phi$-ortogonale di $RR^4$
Per il punto a) calcolo il determinante della matrice $A-TI$ e ottengo che il polinomio caratteristico è $[T^2-T-4][T^2+T+1]=0$. Dal momento che non mi interessa calcolare numericamente gli autovalori per sapere la segnatura, applico la regola di Cartesio e ottengo che la prima equazione mi da 1 autovalore positivo e 1 negativo, mentre la 2equazione mi da 2 autovalori negativi. La segnatura è pertanto $(1,3)$.
Per il punto b) ottengo come base ortogonale i vettori $(0,0,0,1),(1,0,0,1),(0,1,0,0),(0,2,1,0)$.
Se volete inserisco i passaggi che mi hanno portato a questi vettori.
Grazie a tutti per il futuro aiuto!