esercizio di algebra lineare

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salve a tutti non riesco a capire come ricavare la matrice sapreste aiutarmi?

Ciao,

per prima cosa nota che i vettori $v$ formano una base di $RR^4$.

Se desideri lavorare con la base canonica, per linearità puoi ricavare subito i trasformati di $e_i$. Per esempio, a "occhio" vedi che $f(v_2) - f(v1)=f(e_3)$. Oppure che $f(v_3)+f(v_4)=f(e_2)$. E così via...

Troverai così la tua matrice associata alla base canonica $A$.

1)
$k e r (f)={v \in RR^4:f(v)=0 <=> A*v=0}$, con $v$ vettore incognito. Devi risolvere un sistema lineare dipendente da un parametro. Fortunatamente tale sistema è quadrato e il calcolo del determinante ti semplifica sicuramente la vita.

Per trovare l'immagine usa nullità più rango ( o thm. delle dimensioni). Avrai che $dim(Im(f))=dim(ker(f))-4$. E al variare del valore del $ker$ troverai la dimensione dell'immagine.

2)
Endomorfismo semplice significa che ammette una base di autovettori e questo è equivalente a dire che il polinomio caratteristico di $f$ ha tutte le radici reali e, per ogni radice, molt. algebrica e geometrica coincidono.

Poi si tratta solo di sostituire $h$ e vedere cosa ne esce.


Ti invito a leggere questo

Grazie gentilissimo:)

Di nulla.