Coniche: riconoscere il modello affine da quello proiettivo

[Shocker]

Salve,

ho alcuni dubbi sul come riconoscere il modello affine di una conica $C$ guardando quello proiettivo.
Mi spiego meglio: sia $C \subset \mathbb{R^2}$ una conica di equazione $p(x, y) = ax^2 + by^2 + 2cxy + 2dx + 2ey + f = 0$, considero la sua chiusura proiettiva, cioè considero $\bar{C}: p(x, y, z) = ax^2 + by^2 + 2cxy + 2dxz + 2eyz + fz^2 = 0$, una volta trovata la segnatura di $A = ( (a, c, d), (c, b, e), (d, e, f) )$ ho seguenti casi:

$A$ è congruente a:
1)$+- ( (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1))$
2)$+- ( (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, -1))$
3)$+-( (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 0))$
4)$+- ( (1, 0, 0), (0, -1, 0), (0, 0, 0))$
5)$+-( (1, 0, 0), (0, 0, 0), (0, 0, 0))$

Dopodiché per riconoscere il modello affine, se ho capito bene, si interseca $p(x, y, z) = 0$ con la retta all'infinito $z = 0$, quindi ci si riduce a risolvere l'equazione $ax^2 + by^2 + 2cxy = 0$ che, ponendo $t = \frac{y}{x}$(o $\frac{x}{y}$) diventa $bt^2 + 2ct + a = 0$ e si studia il discriminante $\Delta$: se è maggiore di zero ho un certo modello, se è uguale a zero un altro, se è minore di zero un altro ancora.

Tuttavia tutto ciò è stato fatto molto in fretta per cui ho molti dubbi: non ho capito perché funziona e poi, nei casi degeneri($3, 4, 5$) ho difficoltà a dedurre il modello affine. Potete aiutarmi?

Se volete faccio un esempio concreto.

Ciao!

[@melia]

Posso rispondere alla prima domanda anche se ho dei ricordi un po' vaghi della teoria:

un'ellisse (o una circonferenza) non ha punti all'infinito, quindi non interseca la retta all'infinito, perciò $Delta<0$

una parabola ha un unico punto all'infinito, è un punto doppio ed è praticamente quello dell'asse di simmetria. I rami della parabola quando tendono a infinito, si dispongono in forma quasi parallela all'asse della parabola, perciò $Delta=0$

un'iperbole ha due punti all'infinito che coincidono con i due asintoti, perciò $Delta>0$

Se il determinante della matrice completa si annulla sei di fronte ad una conica degenere. Tuttavia il discriminante della parte di secondo grado continua ad esistere per cui
Se $Delta<0$ hai una ellisse degenere, che non avendo punti all'infinito può essere solo un punto.
Se $Delta=0$ hai una parabola degenere, che avendo un unico punto all'infinito può essere una retta doppia o due rette parallele
Se $Delta>0$ hai un'iperbole degenere, che avendo due punti all'infinito è una coppia di rette incidenti