Rette incidenti

[Vicia]

Siano date le rette di equazioni cartesiane
$ r_1 : \{(x = 2z − 9),(y = −z + 2) :}$

$ s_1 :\{(x = 2y + 1),(x = 2z − 3):}$

$ ρ_1 :\{(x = −2z + 1),(y = z + 3):}$

$ ρ_2 :\{(x = z + 2),(y = −x + 2) :}$
Trova la retta r passante per$ P = (−1, 2, 3)$, parallela al piano $\pi : 3x − 2y + 7z = −1 $e incidente alla retta r1, e la retta s parallela a s1 e che interseca le rette ρ1 e ρ2. Le rette r e s sono sghembe?

In questi esercizi con l'incidenza tra le rette come mi devo muovere?

[sandroroma]

Per la prima parte dell'esercizio possiamo osservare che la retta $r$ richiesta appartiene a 2 piani
( che chiameremo $\alpha,\beta$) così costruiti.
Il piano $\alpha$ é il piano determinato dal punto $P$ e dalla retta $r_1$. L'equazione di detto piano
si trova con i soliti calcoli ed è:
$\alpha: 3x-2y-8z+31=0$
Il piano $\beta$ è il piano passante per P e parallelo al piano $\pi$. La sua equazione è:
$\beta: 3x-2y+7z-14=0$
Pertanto le equazioni di $r$ sono :
\begin{cases} 3x-2y-8z+31=0 \\3x-2y+7z-14=0 \end{cases}
che si possono semplificare in :
\begin{cases} 3x-2y+7=0 \\z=3 \end{cases}
La seconda parte a domani ( se non ci sono altre risposte...)

[sandroroma]

Secondo problema.
Il vettore direzionale di $s_1$ è $(2,1,1)$. Il punto generico di $p_1$ è $P(-2t+1,t+3,t)$ mentre il punto
generico di $p_2$ è $Q(u+2,-u,u)$. Pertanto il vettore direzionale della retta $PQ$ (che incide sia $p_1$
che $p_2$) sarà:
$Q-P=(u+2t+1,-u-t-3,u-t)$.
Per il parallelismo di $PQ$ e di $s_1$ si avrà il sistema di equazioni:
$(u+2t+1)/2=(-u-t-3)/1=(u-t)/1$
Da qui la soluzione: $u=-3/2, t=-5/8$
A questa soluzione corrispondono i punti $P(9/4,19/8,-5/8),Q(1/2,3/2,-3/2)$
La retta richiesta è quindi la retta PQ di equazioni :
\begin{cases} x=\frac{1}{2}+\frac{7}{4}t \\y=\frac{3}{2}+\frac{7}{8}t \\z=-\frac{3}{2}+\frac{7}{8}t \end{cases}

[Vicia]

Grazie