Ogni cammino è omotopo al cammino costante in un suo valore

[killing_buddha]

Dimostrate che la mappa continua
\[
@_t \colon Y^{[0,1]} \to Y
\] che manda un cammino continuo $\gamma$ in $\gamma(t)$ è un'equivalenza omotopica.

[j18eos]

Suppongo che sulla topologia di \(\displaystyle X\) non vi siano ipotesi; per comodità, fissato \(\displaystyle t=0\), su \(\displaystyle X^{[0,1]}\) considero la topologia più fine che renda continua la funzione
\[
f=f_0:\gamma\in X^{[0,1]}\to \gamma(0)\in X.
\]
Come altra funzione candidata a costruire l'equivalenza omotòpica, considero la funzione
\[
g:x_0\in X\to\gamma_{x_0}\in X^{[0,1]}
\]
dove, ovviamente, \(\displaystyle\gamma_{x_0}\) è il cammino su \(\displaystyle X\) costante al punto \(\displaystyle x_0\).

Dalle definizioni:
\[
f\circ g=Id_X;
\]
interessa anche dimostrare che \(\displaystyle g\) sia una funzione continua tra tali spazi topologici; sia \(\displaystyle U\) un sottoinsieme aperto di \(\displaystyle X^{[0,1]}\), per definizione esiste un sottoinsieme aperto \(\displaystyle U_0\) di \(\displaystyle X\) tale che \(\displaystyle U=f^{-1}(U_0)\); allora
\[
g^{-1}(U)=g^{-1}(f^{-1}(U_0))=(f\circ g)^{-1}(U_0)=(Id_X)^{-1}(U_0)=U_0,
\]
per definizione \(\displaystyle g\) è una funzione continua.

Dalle definizioni
\[
g\circ f:\gamma\in X^{[0,1]}\to\gamma_{\gamma(0)}\in X^{[0,1]},
\]
e tale funzione la chiamo \(\displaystyle k\); sia
\[
H:X^{[0,1]}\times[0,1]\to X^{[0,1]}
\]
tale che
\[
H(\gamma,t)=h_{\gamma,t}\\
h_{\gamma,t}(t_0)=\begin{cases}
\gamma(t_0)\iff 0\leq t_0\leq t\\
\gamma(t)\iff t\leq t_0\leq1
\end{cases}.
\]

La funzione \(\displaystyle H\) è ben definita, \(\displaystyle H(\cdot,0)=k,\,H(\cdot,1)=Id_{X^{[0,1]}}\); dotato \(\displaystyle X^{[0,1]}\times[0,1]\) della topologia prodotto, sia \(\displaystyle V\) un sottoinsieme aperto di \(\displaystyle X^{[0,1]}\), dalla costruzione di \(\displaystyle H\) si ha che \(\displaystyle H^{-1}(V)=V\times[0,1]\), ovvero \(\displaystyle H\) è un'omotopìa tra \(\displaystyle k\) e \(\displaystyle Id_{X^{[0,1]}}\).

Per definizione \(\displaystyle f\) e \(\displaystyle g\) definiscono un'equivalenza omotòpica tra \(\displaystyle X\) e \(\displaystyle X^{[0,1]}\).

Con un ragionamento analogo, si dimostra che ciò vale per \(\displaystyle f_1\), e con qualche accortezza con \(\displaystyle f_t,\,t\in]0,1[\)!

Come me la sono cavata, dato che io e le omotopìe non andiamo molto d'accordo?

[killing_buddha]

10 e lode! Pure perché ti sei accorto che mi ero dimenticato di dire che $Y$ è uno spazio decente.