Esercizio su spazi metrici compatti (non poi così metrici)

[dissonance]

Grazie delle risposte, ma stavo pensando, non è che funziona la stessa cosa se considero $K_0=X$ e $K_(n+1)=f(K_n)$, non è che come $A$ si può prendere $A=\bigcap_{n=0}^(+\infty) K_n$?
Sennò avrei fatto un po' di fatica per nulla...

Ho fatto un po' di esempi e funziona in tutti. Questa sarebbe una soluzione molto più soddisfacente, perché costruttiva. La difficoltà sta qui: mentre è chiaro che \(f(A)\subset A\), perché l'immagine dell'intersezione è contenuta nell'intersezione delle immagini, non saprei come dimostrare l'implicazione inversa.

[otta96]

Anche io negli esempi che mi sono fatto funziona, ma non riesco a dimostrare l'inclusione contraria.

[dissonance]

Una soluzione nel caso metrico.

La successione \(K_n\) definita ponendo
\[
\begin{cases} K_{n+1}=f(K_n) \\ K_0= X\end{cases}\]
è decrescente per inclusione. E quindi essa converge a \(\bigcap_{n=0}^\infty K_n\) nella topologia di
\[
\mathcal K(X)=\{ K\subset X\ \text{compatto}\}, \]
munito della distanza di Hausdorff. D'altra parte la funzione \(f\) induce una mappa continua
\[
f\colon \mathcal K(X)\to \mathcal K(X),\quad K\mapsto f(K).\]
E quindi
\[
f(\bigcap K_n)=\lim_{n\to \infty} f(K_n) =\lim_{n\to \infty} K_{n+1}=\bigcap K_n.\ \square\]
---

Sono abbastanza convinto che l'armamentario della distanza di Hausdorff non serva. Si può probabilmente fare un ragionamento più fine di compattezza per dimostrare la doppia inclusione in \(f(\bigcap K_n)=\bigcap f(K_n)\), sfruttando il fatto che le intersezioni sono decrescenti. Inoltre, è probabile che il risultato sia valido in un contesto di spazi topologici più generali: la distanza di Hausdorff ha senso solo sugli spazi metrici.

[j18eos]

Vediamo se ho capìto bene...

Siano \(\displaystyle(X,\mathcal{T})\) uno spazio topologico di Hausdorff e \(\displaystyle\{K_n\Subset X\}_{n\in\mathbb{N}_{\geq0}}\) una successione decrescente di insiemi compatti (non vuoti) di \(\displaystyle X\), ovvero
\[
\forall n\in\mathbb{N}_{\geq0},\,K_{n+1}\subseteq K_n.
\]
Sia \(\displaystyle C=\bigcap_{n\in\mathbb{N}_{\geq0}}K_n\), essendo una intersezione di insiemi chiusi¹ di \(\displaystyle X\), \(\displaystyle C\) stesso è un sottoinsieme chiuso di \(\displaystyle X\).

Se per assurdo \(\displaystyle C=\emptyset\) allora
\[
K=K\setminus\emptyset=K\setminus C=K\setminus\left(\bigcap_{n\in\mathbb{N}_{\geq0}}K_n\right)=\bigcup_{n\in\mathbb{N}_{\geq0}}K_0\setminus K_n=\bigcup_{n\in\mathbb{N}_{\geq1}}A_n
\]
ove \(\displaystyle A_n=K_0\setminus K_n\) è un sottoinsieme aperto di \(\displaystyle K_0\).
Per la compattezza di \(\displaystyle K_0\) esiste una famiglia finita \(\displaystyle F=\{n_1,...,n_m\in\mathbb{N}_{\geq1}\}\) tale che:
\[
K_0=\bigcup_{n\in F}A_n=\bigcup_{n\in F}K_0\setminus K_n=K_0\setminus\left(\bigcap_{n\in F}K_n\right)
\]
ovvero \(\displaystyle\bigcap_{n\in F}K_n=\emptyset\); ordinando \(\displaystyle F\) secondo l'ordinamento usuale di \(\displaystyle\mathbb{N}_{\geq1}\), sia \(\displaystyle m\) il suo massimo; per costruzione si ha che:
\[
K_m=\bigcap_{n\in F}K_n=\emptyset
\]
in assurdo con le ipotesi.

Onde evitare l'assurdo, \(\displaystyle C\neq\emptyset\).

Torna tutto?!

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Note

1. Un sottoinsieme compatto di uno spazio di Hausdorff, è un insieme chiuso; ma non vale l'implicazione inversa. ↑

[dissonance]

Non si capisce che cosa vuoi dimostrare. In ogni caso sembri affermare che ogni successione decrescente di compatti è stazionaria. Ma questo è falso: $[0,1/n]$, per esempio.

[otta96]

Allora non ero solo io che non capivo cosa voleva dimostrare! L'ipotesi che ho fatto io è che volesse dimostrare che l'intersezione di una successione di chiusi decrescente fosse non vuota, altrimenti non sarebbe nemmeno giustificato questo passaggio:

siano \(\displaystyle A_m=K_0\setminus K_m\), con \(\displaystyle m\in\mathbb{N}_{\geq1}\); per quanto premesso, \(\displaystyle\{A_m\subseteq K_0\}_{m\in\mathbb{N}_{\geq1}}\) e un ricoprimento per aperti di \(\displaystyle K_0\)

gli elementi dell'intersezione non verrebbero ricoperti. Però questo era una cosa che davo per scontato, perché nota, ma il punto era un altro...

[j18eos]

Avevo sbagliato la tesi.

Se il testo non si capisce ancòra, rimando a MSE!

[dissonance]

@Armando: OK, l'intersezione decrescente di compatti è non vuota. Vero, avrei dovuto specificarlo nel mio post. Tuttavia, la cosa che qui abbiamo congetturato e che manca di dimostrazione è la seguente.

Congettura. Se \(X\) è uno spazio topologico compatto di Hausdorff e \(f\colon X\to X\) è una mappa continua allora la successione di compatti definita da
\[
\begin{cases}
K_{n+1}=f(K_n) \\
K_0=X
\end{cases}\]
è tale che
\[
f\left( \bigcap_{n=0}^\infty K_n\right) = \bigcap_{n=0}^\infty K_n.\]

Osservazioni.

1. L'esistenza di un compatto \(K\subset X\) tale che \(f(K)=K\) è stata dimostrata da otta usando il lemma di Zorn.

2. La congettura è vera (salvo errori miei) nel caso in cui \(X\) sia uno spazio metrico, ma la dimostrazione usa il concetto di distanza di Hausdorff che non si estende a spazi topologici più generali.

3. La successione \(K_n\) è decrescente per inclusione (ovvero \(K_{n+1}\subset K_n\)); come osservato da Armando j18eos, questo implica che l'intersezione \(\bigcap_{n=0}^\infty K_n\) sia non vuota.

[j18eos]

Grazie per le osservazioni: ora ho capìto!

Ovviamente avete già scritto che \(\displaystyle f\left(\bigcap_{n\in\mathbb{N}_{\geq0}}K_n\right)\subseteq\bigcap_{n\in\mathbb{N}_{\geq0}}K_n\); sia \(\displaystyle x\in C=\bigcap_{n\in\mathbb{N}_{\geq1}}K_n\), allora \(\displaystyle\forall n\in\mathbb{N}_{\geq0},\,x\in K_n\) e si possono considerare gli insiemi chiusi \(\displaystyle F_n=K_n\cap f^{-1}(\{x\})\); per costruzione \(\displaystyle\{F_n\Subset X\}_{n\in\mathbb{N}_{\geq0}}\) è una successione decrescente di insiemi compatti non vuoti, e quindi \(\displaystyle F=\bigcap_{n\in\mathbb{N}_{\geq1}}F_n\neq\emptyset\).

Sia \(\displaystyle y\in F\), si ha che \(\displaystyle f(y)=x\in C\); ovvero \(\displaystyle C\subseteq f(C)\), e per quanto premesso \(\displaystyle f(C)=C\).

Q.E.D. \(\displaystyle\Box\)

Nota: La proprietà che l'intersezione di una successione decrescente di insiemi compatti, in uno spazio di Hausdorff, sia non vuota va sotto il nome di Teorema dell'intersezione di Cantor.

[dissonance]

Olé! Mi pare corretto. Avevi ragione sul fatto che quella proprietà dell'intersezione decrescente di compatti era la chiave.