\(\bf Top\) non è cartesiana chiusa

[killing_buddha]

\(\bf Top\) indica qui la categoria degli spazi topologici e delle funzioni continue.

Supponiamo che su \(\bf Top\) venga definita una struttura monoidale, che permette di moltiplicare tra loro due spazi $(X,Y)$ per ottenerne un terzo $X\otimes Y$, in modo tale che le regole di associatività $X\otimes(Y\otimes Z)\cong (X\otimes Y)\otimes Z$ e di unità $X\otimes I$ e $I\otimes X$ siano soddisfatte per un certo spazio topologico $I$ che si chiama "identità monoidale".

Supponiamo inoltre che valga l'identità di aggiunzione
\[
{\bf Top}(X\otimes Y,Z)\cong {\bf Top}(X, [Y,Z])
\]
per un opportuno spazio topologico $[Y,Z]$, naturalmente in tutti e tre gli argomenti $X,Y,Z$.
1. Dimostrare che $X\otimes Y$ ha necessariamente come insieme sottostante il prodotto cartesiano $X\times Y$, ed è dotato della topologia prodotto.
2. Dimostrare che $[Y,Z]$ ha necessariamente come insieme sottostante l'insieme delle funzioni $Y\to Z$ continue, e la sua topologia è la meno fine da rendere tutte le mappe di valutazione $[Y,Z]\times Y \to Z$ continue (rispetto alla topologia su $Z$ e alla topologia prodotto sul prodotto $[Y,Z]\times Y$).
3. Dimostrare che $I$ deve per forza essere lo spazio $\{x\}$ con un solo punto e la topologia discreta.
4. Dedurre, da tutto ciò un assurdo, ovvero dimostrare che la struttura in oggetto non può esistere.