Esercizio topologia

[fractalius]

https://www.amazon.it/Categorie-pratica-matematica-Saunders-McLane/dp/8833952673

C'è ancora qualche fondo di magazzino, ma stanno sparendo.

Ebbene, io ne ho una copia, e pure ingiallita

[anto_zoolander]

Riapro questo argomento per discutere della indicizzazione.

Detto che a quanto ho visto un insieme $I$ detto di indici, indicizza un insieme $X$ se esiste una mappa suriettiva $i:I->X$ che sia suriettiva.

Non avrebbe più senso imporla biunivoca?

L’idea è questa: prendiamo $i:I->X$ suriettiva.
Sia ora $y inX$ un certo elemento di $X$ e consideriamo $Y=i^(leftarrow)({y})subseteqI$ la sua fibra.
Per suriettività, tale fibra contiene almeno un indice.

• se la fibra è un singleton, allora prendiamo un altro elemento.
• se la fibra di ogni elemento è un singleton, allora la mappa è biunivoca(top)

Supponiamo che esista almeno un elemento la cui fibra non sia un singleton e sia esso $y$.
Sia ora $z in i^(leftarrow)({y})$ un elemento della fibra e consideriamo $(IsetminusY)cup{z}$

Notiamo che la restrizione $i:(IsetminusY)cup{z}->X$
È ancora una mappa suriettiva, ma non solo, la fibra di $y$ adesso contiene solo $z$

Non potendo procedere per induzione, come banana faccio a iterare il procedimento per tutti gli elementi del codominio affinché si abbia una mappa che indicizza $X$ biunivocamente?

Non ditemi di assumere l’assioma della scelta.....

[killing_buddha]

Detto che a quanto ho visto un insieme $I$ detto di indici, indicizza un insieme $X$ se esiste una mappa suriettiva $i:I->X$ che sia suriettiva.

Respira lentamente, e smetti di dire "suriettiva" xD

Non ricordo cosa volevi fare; non esiste nessun motivo per prendere la mappa $I\to X$ suriettiva, l'equivalenza di categorie è tra \({\bf Set}^I \) (i funtori da $I$, guardato come categoria piccola e discreta, verso \(\bf Set\)) e \({\bf Set}/I\) (la categoria delle funzioni di codominio $I$, che ha per morfismi gli ovvi tirangoli commutativi) senza ulteriori restrizioni; questa si realizza precisamente mandando una funzione $h : X\to I$ nella famiglia di insiemi \( \{h^\leftarrow(i)\}\), e una famiglia di insiemi \(\{A_i\}\) nella funzione \(\coprod_{i\in I} A_i \to I\) che manda $x\in A_i$ in $i\in I$.

[anto_zoolander]

Tu smettila di usare la teoria delle categorie. Non si capisce niente!
Finiró per studiarla al fine di parlare la stessa lingua

Però in effetti l’ho scritto troppo

Quello che voglio dimostrare senza usare la teoria delle categorie è che ogni indicizzazione(quindi una mappa suriett***) realizza una mappa biunivoca, quindi arrivare a mostrare che siano equivalenti.

[killing_buddha]

Perché insisti a volerla suriettiva? Una indicizzazione di un insieme, parametrizzata da $I$, non è una mappa suriettiva verso $I$; è una qualsiasi mappa $h$ di codominio $I$, e l'indicizzazione è esattamente equivalente al dato della collezione delle fibre di $h$. Anche perché... cosa significa "collezione" se non "funzione"?

Ho detto solo questo, semplicemente in un linguaggio che permette di essere precisi, e di mostrare che anche il viceversa è vero; se tu mi dai un po' di insiemi, io ti dò una mappa (che ora è suriettiva, certo, ma questo è incidentale al fatto che puoi rimuovere da \(\coprod_{i\in I}A_i\) gli addendi vuoti) di codominio l'insieme di indici che ha per fibre sopra $i \in I$ esattamente $A_i$.

[anto_zoolander]

Sono arrivato a questa domanda leggendo questo

[Indrjo Dedej]

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.

Non lo fa come lo fa la logica, perché dimostra risultati che pertengono alle teorie che cerca di spiegare.

Mi puoi spiegare il significato di questa affermazione che mi sembra interessantissima?