Prodotto cartesiano di aperti

[sampe]

Mi è sfuggito un concetto che è stato riportato durante il corso, in particolare in un esempio:

Si stava enunciando il teorema di inversione locale e nell'esercizio correlato dopo la spiegazione teorica la professoressa ha detto:
$T:(\rho,\theta)=(\rho cosθ, \rho sinθ)$
$\rho\sqrt(x^2+y^2)$ e tutti gli altri legami tra x,y,xos sin ecc..
Il problema sorge quando dice:
Sia $T:(\rho,\theta)->x,y$ su $A=(0,+∞)x(0,2\Pi)$ aperto prodotto cartesiano di aperti (e fin qua pur non avendo studiato topologia dall'infarinatura data in analisi II ho capito)
Il problema è che mi sfugge perché poi scriva: $T(A)=R^2 - {(x,y)|y=0,x>=0}$

Mi sapreste aiutare?
Grazie

[feddy]

Perché l'intervallo in cui varia $theta$ è privato degli estremi (in modo da permettere che la trasformazione sia biiettiva) e pertanto l'immagine tramite $T$ di $A$ è tutto $R^2$ privato della striscia che ha indicato la tua prof. Quando passiamo a coordinate polari si deve rinunciare ad una semiretta contenente l'origine

[feddy]

Cercando sul forum ho trovato questo post (del 2008) del buon dissonance, che dovrebbe chiarirti le idee. In particolare l'ultima risposta di gugo82 dovrebbe rispondere ancora meglio alla tua domanda.

[sampe]

Grazie non ci avevo riflettuto abbastanza sulle coordinate polari introdotte di recente.
Tuttavia non capisco perché uno debba togliere anche la x=0, a ben pensarci se io definisco un rho pari a zero quella è l'origine senza confusioni.

[feddy]

Se $rho=0$, allora per qualsiasi $theta$ vado a finire nell'origine...