Esistenza e unicità applicazione lineare in spazio complesso.

[BRN]

Ciao a tutti;
vi propongo questo esercizio su cui ho dei dubbi:

Siano $V=CC^2$ e e$k in RR$. Si considerino:

$ v_1=((1),(i)), v_2=((0),(1)), v_3=((k),(1)), w_1=((1),(0)), w_2=((0),(1)), w_3=((k),(1-3i)) in V$

a) Considerato $V$ come spazio vettoriale complesso, esprimere il vettore $v_3$ come combinazione lineare di $v_1$ e $v_2$.
b) Considerato $V$ come spazio vettoriale complesso, discutere esistenza e unicità di un'applicazione lineare $F:V rarr V$ tale che sia simultaneamente $F(v_1)=(w_1), F(v_2)=(w_2), F(v_3)=(w_3)$ al variare del parametro reale $k$.
c) Rispondere allo stesso quesito del punto b) nel caso in cui $V$ venga considerato come spazio vettoriale reale.

a) Se $v_3$ è esprimibile come combinazione lineare di $v_1$ e $v_2$, allora la matrice formata dai tre vettori deve avere rango pari a 2:

$((1, 0, k), (i, 1, 1)) rArr ((1, 0, k), (0, 1, 1-ik)) rArr rho=2 AA k$

Allora $v_3$ può essere espresso come:

$((k),(1))=a((1),(i))+b((0),(1))$

che, risolto il sistema, porta a :

$((k),(1))=k((1),(i))+(1-ik)((0),(1))$

b) Se i vettori del dominio sono anche una base del dominio stesso, allora anche le loro immagini saranno una base del codominio e allora qualunque altro vettore del dominio (combinazione lineare dei vettori della base) avrà un'unica immagine combinazione lineare dei vettori base del codominio. In tal caso $F$ esiste ed è unica.

Come già visto nel punto a), la matrice formata dai vettori del dominio ha rango pari a 2 e quindi pari alla dimensione dello spazio $CC^2$ (ma sono in dubbio su questo). Questo dovrebbe garantirmi che $F$ esiste ed è unica.

verifico anche che $F(v_3)=(w_3)$

$F((k),(1))=k F((1),(i)) + (1-k) ((0),(1))= k ((1),(0))+(1-k) ((0),(1))=((k),(1-k))$

valido per $k=3i$

Può essere?

c) Ma per considerare $V$ reale, cosa dovrei fare? Basta porre $i=1$?

Un aiuto? Grazie!

[anonymous_0b37e9]

Per quanto riguarda il punto a):

$[vec(v_3)=c_1vec(v_1)+c_2vec(v_2)] rarr [((k),(1))=c_1((1),(i))+c_2((0),(1))] rarr$

$rarr ((1,0),(i,1))((c_1),(c_2))=((k),(1)) rarr [c_1=k] ^^ [c_2=1-ki]$

Per quanto riguarda il punto b):

Se i vettori del dominio sono anche una base del dominio stesso, allora anche le loro immagini saranno una base del codominio ...

In generale, basti pensare all'applicazione lineare nulla, l'affermazione di cui sopra è falsa. Vero è che, se sono assegnati i trasformati di una base:

$F((1),(i))=((1),(0)) ^^ F((0),(1))=((0),(1))$

l'applicazione lineare è univocamente determinata. A questo punto, vista la condizione supplementare, per assicurarne l'esistenza è necessario imporre la seguente condizione:

$[F((k),(1))=((k),(1-3i))] rarr [k*F((1),(i))+(1-ki)*F((0),(1))=((k),(1-3i))] rarr$

$rarr [k*((1),(0))+(1-ki)*((0),(1))=((k),(1-3i))] rarr [k=3]$

[BRN]

OK, diciamo che a parte qualche imperfezione e l'aver dimenticato la $i$ al punto b), c'ero arrivato!

Invece per il punto c) come si procede? Ha senso porre $i=1$?

[anonymous_0b37e9]

... per il punto c) come si procede...

Credo sia necessario considerare l'insieme delle coppie ordinate di numeri complessi:

$(z_1,z_2) : z_1 in CC ^^ z_2 in CC$

moltiplicate per coefficienti reali:

$\lambda in RR$

[BRN]

Credo sia necessario considerare l'insieme delle coppie ordinate di numeri complessi:

$ (z_1,z_2) : z_1 in CC ^^ z_2 in CC $

moltiplicate per coefficienti reali:

$ \lambda in RR $

Non ho ben capito...

Io avevo provato a risolverlo ponendo $i=0$, ottenendo che $F$ diventa identità e quindi esiste ed è unica.
Non saprei dire se ha senso quello che ho fatto.