Argomento tesi?

[Mariaele]

Salve a tutti, scrivo questo messaggio perché ho bisogno di un consiglio.
Per me è arrivato il momento di chiedere la tesi triennale (matematica), so già chi voglio come relatore e dovrei chiedergli un incontro per sapere se è disponibile, eppure continuo a rimandare.
Il problema è che il professore che ho scelto insegna geometria, io voglio fare una tesi in geometria, ma l'ultimo esame di geometria l'ho dato più di un anno fa! Quindi non ho ben chiaro quale argomento affrontare nella tesi.
Inoltre, dell'ultimo esame che ho fatto (analisi superiore) mi sono molto piaciuti gli spazi di Hilbert.
Quindi vi chiedo: avrebbe senso andare dal prof. a chiedere di affrontare gli spazi di Hilbert da un punto di vista geometrico? C'è abbastanza materiale, o questi spazi, di geometrico hanno ben poco?
Non vorrei fare una cattiva impressione dal primo incontro.

[j18eos]

Scherzi: gli spazi \(\displaystyle L^2\) (che sono spazi di Hilbert) hanno importanti applicazioni in geometria complessa; per esempio: le sezioni di un fibrato vettoriale complesso, con metrica hermitiana, su di una manifold complessa, a quadrato sommabile formano uno spazio di Hilbert; e da qui parte tutto un discorso che si può collegare anche alle P.D.E. sulle manifolds complesse, oltre che ai fibrati vettoriali olomorfi sulle stesse.

[Mariaele]

Ecco, questi argomenti sono nel programma dell'esame che sto preparando, e non ci sono ancora arrivata. Quindi non conoscevo proprio questi collegamenti! Grazie mille, mi ha tranquillizzata.

[otta96]

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gli spazi di Hilbert o spazi \(\displaystyle L^2\)

Una curiosità, ma in che senso intendi quella "o"?
Cioè, io so che tutti gli spazi $L^2$ sono anche di Hilbert, ma vale anche il viceversa (cosa che sembra dal tuo messaggio)?
Se sì, esiste un modo canonico per vederlo?

[j18eos]

@Mariaele Mi fa piacere.

@otta96

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Mi sa che ho scritto un'inesattezza!

[Bremen000]

@otta96

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Be’ se aggiungi spazi di Hilbert separabili infinito dimensionali (che sono nella pratica l’unica cosa che si usa) l’equivalenza è vera. Più precisamente tutti gli spazi di Hilbert separabili infinito dimensionali sono tra loro isomorfi isometricamente (in particolare l’$L^2$ classico è separabile). Credo sia questo il fatto che forse ti interessava!

[otta96]

@Bremen000

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Beh, in effetti questo è interessante, risponde alla mia curiosità, grazie!

[gugo82]

Perché non un po' di Geometria dei corpi convessi con applicazioni all'Analisi?
Guardati ad esempio, il Webster, Convexity, oppure lo Schneider, Convex Bodies: the Brunn-Minkowski Theory .

[Mariaele]

Lo terrò in considerazione, anche se preferisco rimanere su qualcosa che conosco già. Credi che l'argomento a cui ho pensato io non vada bene?
Comunque grazie per il consiglio

[j18eos]

Dimenticavo un po' di bibliografia:

• Demailly J.-P. - Complex Analytic and Differential Geometry (Chapter VIII), click;
• Hörmander L. - An Introduction to Complex Analysis in Several Variables (Chapters IV and V), North Holland 1990;
• J. Jürgen - Compact Riemann Surfaces. An Introduction To Contemporary Mathematic (Chapter 3), Springer-Verlag 2006;
• T. Ohsawa - \(\displaystyle L^2\) Approaches in Several Complex Variables, Springer 2015;
• R. O. Wells, Jr., O. Garcia-Prada - Differential Analysis on Complex Manifolds (Chapter IV), Springer 2008.

Se poi ti affascina il concetto della convessità, un solo nome: spazi di Stein!